Questão 13 A corrente no indutor de 90,0 \mathrm{mH} varia com o tempo I(t)=1,00 t^{2}-6,00 t. Encontre o módulo da fem induzida em
Em qual tempo a fem é zero?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Indutância: L=90{,}0\\ \mathrm{mH}.
  • Corrente no indutor como função do tempo: I(t)=1{,}00\,t^{2}-6{,}00\,t, sendo t em segundos e I em ampères (assumido).
    As perguntas são:
  1. Encontrar o módulo da fem induzida (isto é, a expressão do valor absoluto da fem em função do tempo).
  2. Em qual tempo a fem é zero?

Passo 2

Relembrando a fórmula física que liga corrente em um indutor e a fem induzida: a fem induzida em um indutor é dada por
\varepsilon(t) = -L\,\frac{dI}{dt},
onde:
  • \varepsilon(t) é a fem induzida (em volts),
  • L é a indutância (em henries),
  • \dfrac{dI}{dt} é a derivada da corrente em relação ao tempo (em A/s).
    O sinal negativo vem da lei de Lenz (indicando oposição à variação da corrente). Como o enunciado pede o módulo da fem, usaremos
\left|\varepsilon(t)\right| = L\left|\frac{dI}{dt}\right|.

Passo 3

Calcular a derivada da corrente em relação ao tempo. Usando a regra do poder ( \dfrac{d}{dt}(a t^{n}) = a n t^{n-1}):
\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(1{,}00\,t^{2}-6{,}00\,t\bigr) = 2{,}00\,t - 6{,}00.
Expliquei: o termo 1{,}00\,t^{2} vira 2{,}00\,t e o termo -6{,}00\,t vira -6{,}00.

Passo 4

Agora aplicamos na fórmula da fem. Primeiro convertemos a indutância para henries:
L = 90{,}0\\ \mathrm{mH} = 0{,}090\\ \mathrm{H}.
Substituindo \dfrac{dI}{dt}=2{,}00\,t-6{,}00:
\varepsilon(t) = -0{,}090\,(2{,}00\,t-6{,}00).
Podemos simplificar a expressão e escrever o módulo:
\varepsilon(t) = -0{,}180\,t + 0{,}540\quad\text{(em V)},
portanto
\left|\varepsilon(t)\right| = \bigl| -0{,}180\,t + 0{,}540\bigr| = 0{,}180\,\bigl|t-3{,}00\bigr|\quad\text{(em V)}.
Expliquei: fatorando 0{,}180 fica mais claro que a fem depende da distância temporal em relação a t=3{,}00\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Para achar quando a fem é zero, basta achar quando \dfrac{dI}{dt}=0 (ou quando a expressão dentro do módulo é zero). Igualando:
2{,}00\,t - 6{,}00 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{6{,}00}{2{,}00}=3{,}00\\ \mathrm{s}.
Portanto a fem é zero em t=3{,}00\\ \mathrm{s}. Isso também aparece na forma \left|\varepsilon(t)\right|=0{,}180\,|t-3{,}00|: o valor absoluto zera quando t=3{,}00\\ \mathrm{s}.

Resposta

\left|\varepsilon(t)\right| = 0{,}180\,\bigl|t-3{,}00\bigr|\\ \mathrm{V}
t=3{,}00\\ \mathrm{s}