Questão-13 - (IFSC)

Em 2018 foi realizada uma pesquisa com 75 estudantes do Ensino Fundamental de uma determinada escola, referente à leitura dos livros \mathrm{A}, \mathrm{B} e C . O resultado da pesquisa revelou que:
  • 5 estudantes leram os três livros;
  • 7 estudantes leram os livros A e B;
  • 8 estudantes leram os livros A e C;
  • 6 estudantes leram os livros B e C;
  • 10 estudantes leram apenas o livro A;
  • 12 estudantes leram apenas o livro B, e;
  • 15 estudantes leram apenas o livro C .
De acordo com a pesquisa, pode-se afirmar que a quantidade de estudantes que não leram nenhum dos três livros é:
Assinale a alternativa CORRETA.
a) 20
b) 12
c) 32
d) 15
e) 27

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (valores pegos do enunciado) e o que é pedido.
  • Total de estudantes: 75.
  • Número que leram os três livros: \,5.
  • Número que leram os livros A e B (ou seja, A\cap B): \,7.
  • Número que leram os livros A e C (ou seja, A\cap C): \,8.
  • Número que leram os livros B e C (ou seja, B\cap C): \,6.
  • Número que leram apenas o livro A: \,10.
  • Número que leram apenas o livro B: \,12.
  • Número que leram apenas o livro C: \,15.
O que o enunciado pergunta: a quantidade de estudantes que não leram nenhum dos três livros (ou seja, o complementar de A\cup B\cup C).

Passo 2

Entendendo o que significam os números das interseções (dica didática importante).
Quando o enunciado diz, por exemplo, que 7 estudantes leram os livros A e B, costuma-se entender que esse valor é |A\cap B|, isto é, conta também quem leu os três livros. Logo, para saber quantos leram só A e B (mas não C) precisamos subtrair os que leram os três. O mesmo vale para as outras interseções.
Assim:
  • Número que leram exatamente A e B (mas não C) = |A\cap B| - |A\cap B\cap C|.
  • Número que leram exatamente A e C (mas não B) = |A\cap C| - |A\cap B\cap C|.
  • Número que leram exatamente B e C (mas não A) = |B\cap C| - |A\cap B\cap C|.
Vou calcular esses valores usando os números dados.

Passo 3

Calcular quantos leram exatamente as interseções de dois conjuntos (excluindo o trio):
  • Exatamente A e B (só A\cap B, sem C):
|A\cap B| - |A\cap B\cap C| = 7 - 5 = 2.
  • Exatamente A e C (só A\cap C, sem B):
|A\cap C| - |A\cap B\cap C| = 8 - 5 = 3.
  • Exatamente B e C (só B\cap C, sem A):
|B\cap C| - |A\cap B\cap C| = 6 - 5 = 1.

Passo 4

Agora vamos montar o total de estudantes que leram pelo menos um dos livros, ou seja, |A\cup B\cup C|.
Uma maneira direta é somar todas as partes disjuntas (as regiões do diagrama de Venn que não se sobrepõem):
Partes disjuntas são:
  • apenas A: 10,
  • apenas B: 12,
  • apenas C: 15,
  • exatamente A e B: 2 (calculado acima),
  • exatamente A e C: 3,
  • exatamente B e C: 1,
  • todos os três: 5.
Somando todas essas partes obtemos |A\cup B\cup C|:
|A\cup B\cup C| = 10 + 12 + 15 + 2 + 3 + 1 + 5.

Passo 5

Fazer a soma passo a passo (para conseguir na prova sem calculadora):
10 + 12 = 22,
22 + 15 = 37,
37 + 2 = 39,
39 + 3 = 42,
42 + 1 = 43,
43 + 5 = 48.
Portanto,
|A\cup B\cup C| = 48.

Passo 6

Finalmente, o número de estudantes que não leram nenhum dos três livros é o complemento em relação ao total de 75:
\text{nenhum} = 75 - |A\cup B\cup C| = 75 - 48 = 27.
Respira, tá feito — deu 27. Boa! Você já pegou o truque: descontar o triplo das interseções para achar “só dois”, somar as regiões disjuntas e subtrair do total.

Resposta

e) 27

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