Questão 13 Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer naturais
,
e
,
Informações dadas:
-
. - A igualdade acima deve valer para todos esses naturais simultaneamente.
Nada mais é pedido além de mostrar essa igualdade.
Passo 2
Vamos lembrar definições e fatos que usaremos (explicadinhos com calma).
Definição de multiplicação por recorrência (definição usual em
):
Isto significa: multiplicar por
é somar
consigo mesmo
vezes.
Princípio da indução sobre
(explicação intuitiva):
Se uma propriedade é verdadeira para
(caso base) e sempre que
é verdadeira segue que
também é verdadeira (passo indutivo), então
vale para todo
.
Se uma propriedade
Também usaremos propriedades elementares da adição em
:
- associatividade: para todos
, ; - comutatividade: para todos
, .
Passo 3
Caso base:
.
Calcular cada lado usando a definição de multiplicação:
e
Portanto
logo a igualdade é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese de indução.
Assuma que para algum
vale
Esta é a hipótese que usaremos para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: provar para
.
Começamos aplicando a definição de multiplicação ao lado esquerdo:
Pelo passo anterior (hipótese de indução) podemos substituir
por
:
Agora desenvolvemos a soma e reagrupamos usando associatividade e comutatividade da adição (explicando cada movimento de forma clara):
Primeiro expandir o último parêntese:
Pela comutatividade podemos reordenar termos de modo conveniente:
usando associatividade para agrupar os termos assim.
Agora aplicamos a definição de multiplicação ao parêntese de cada grupo:
Portanto
Isso mostra que, se a propriedade vale para
, então também vale para
.
Passo 6
Conclusão por indução.
Já mostramos que a igualdade vale para
(Passo 3) e que a validade para
implica a validade para
(Passo 5). Pelo princípio da indução, a igualdade
vale para todo
, para quaisquer
. Pronto — essa é a distribuição da multiplicação sobre a adição em
.