Questão 13 Mostre que
(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c ; \quad \forall a, b, c \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer naturais a, b e c,
(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c.
Informações dadas:
  • a,b,c \in \mathbb{N}.
  • A igualdade acima deve valer para todos esses naturais simultaneamente.
    Nada mais é pedido além de mostrar essa igualdade.

Passo 2

Vamos lembrar definições e fatos que usaremos (explicadinhos com calma).
Definição de multiplicação por recorrência (definição usual em \mathbb{N}):
\text{Para todo }x\in\mathbb{N}:\qquad x\cdot 0 = 0,\qquad x\cdot (n+1) = x\cdot n + x.
Isto significa: multiplicar por n é somar x consigo mesmo n vezes.
Princípio da indução sobre \mathbb{N} (explicação intuitiva):
Se uma propriedade P(n) é verdadeira para n=0 (caso base) e sempre que P(n) é verdadeira segue que P(n+1) também é verdadeira (passo indutivo), então P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}.
Também usaremos propriedades elementares da adição em \mathbb{N}:
  • associatividade: para todos x,y,z\in\mathbb{N}, (x+y)+z = x+(y+z);
  • comutatividade: para todos x,y\in\mathbb{N}, x+y = y+x.

Passo 3

Caso base: c=0.
Calcular cada lado usando a definição de multiplicação:
(a+b)\cdot 0 = 0
e
a\cdot 0 + b\cdot 0 = 0 + 0 = 0.
Portanto
(a+b)\cdot 0 = 0 = a\cdot 0 + b\cdot 0,
logo a igualdade é verdadeira para c=0.

Passo 4

Hipótese de indução.
Assuma que para algum n\in\mathbb{N} vale
(a+b)\cdot n = a\cdot n + b\cdot n.
Esta é a hipótese que usaremos para provar o caso n+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar para c=n+1.
Começamos aplicando a definição de multiplicação ao lado esquerdo:
(a+b)\cdot (n+1) = (a+b)\cdot n + (a+b).
Pelo passo anterior (hipótese de indução) podemos substituir (a+b)\cdot n por a\cdot n + b\cdot n:
(a+b)\cdot (n+1) = \bigl(a\cdot n + b\cdot n\bigr) + (a+b).
Agora desenvolvemos a soma e reagrupamos usando associatividade e comutatividade da adição (explicando cada movimento de forma clara):
Primeiro expandir o último parêntese:
\bigl(a\cdot n + b\cdot n\bigr) + (a+b) = a\cdot n + b\cdot n + a + b.
Pela comutatividade podemos reordenar termos de modo conveniente:
a\cdot n + b\cdot n + a + b = \bigl(a\cdot n + a\bigr) + \bigl(b\cdot n + b\bigr),
usando associatividade para agrupar os termos assim.
Agora aplicamos a definição de multiplicação ao parêntese de cada grupo:
a\cdot n + a = a\cdot (n+1),\qquad b\cdot n + b = b\cdot (n+1).
Portanto
(a+b)\cdot (n+1) = a\cdot (n+1) + b\cdot (n+1).
Isso mostra que, se a propriedade vale para n, então também vale para n+1.

Passo 6

Conclusão por indução.
Já mostramos que a igualdade vale para c=0 (Passo 3) e que a validade para n implica a validade para n+1 (Passo 5). Pelo princípio da indução, a igualdade
(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c
vale para todo c\in\mathbb{N}, para quaisquer a,b\in\mathbb{N}. Pronto — essa é a distribuição da multiplicação sobre a adição em \mathbb{N}.

Resposta

(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c