Questão 15 - Dados vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} em \mathbb{R}^{3}, mostre que o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} é igual a |\langle\vec{u}, \vec{v} \times \vec{w}\rangle|. Use esse resultado para calcular o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores (1,0,1),(3,1,-2),(1,-2,-3).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3 é
e, em seguida, usar esse resultado para calcular o volume quando \vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(3,1,-2), \vec{w}=(1,-2,-3).
O conteúdo é produto vetorial, produto escalar e interpretação geométrica de volume.
Passo 2
Vamos derivar a fórmula do volume. Escolhemos o paralelogramo base gerado por \vec{v} e \vec{w}.
A área dessa base é \bigl\|\vec{v}\times\vec{w}\bigr\|.
A altura relativa a essa base é a projeção de \vec{u} sobre o vetor normal à base, ou seja
h = \frac{\bigl|\langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle\bigr|}{\bigl\|\vec{v}\times\vec{w}\bigr\|}.