Questão 15 - Dados vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} em \mathbb{R}^{3}, mostre que o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} é igual a |\langle\vec{u}, \vec{v} \times \vec{w}\rangle|. Use esse resultado para calcular o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores (1,0,1),(3,1,-2),(1,-2,-3).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3 é
\bigl|\langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle\bigr|
e, em seguida, usar esse resultado para calcular o volume quando \vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(3,1,-2), \vec{w}=(1,-2,-3).
O conteúdo é produto vetorial, produto escalar e interpretação geométrica de volume.

Passo 2

Vamos derivar a fórmula do volume. Escolhemos o paralelogramo base gerado por \vec{v} e \vec{w}.
  • A área dessa base é \bigl\|\vec{v}\times\vec{w}\bigr\|.
  • A altura relativa a essa base é a projeção de \vec{u} sobre o vetor normal à base, ou seja
h = \frac{\bigl|\langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle\bigr|}{\bigl\|\vec{v}\times\vec{w}\bigr\|}.
Logo o volume é
\text{Volume} = \bigl\|\vec{v}\times\vec{w}\bigr\|\times h = \bigl\|\vec{v}\times\vec{w}\bigr\|\times \frac{\bigl|\langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle\bigr|}{\bigl\|\vec{v}\times\vec{w}\bigr\|} = \bigl|\langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle\bigr|.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}:
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 3 & 1 & -2\\\\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = (-7,\,7,\,-7).

Passo 4

Calcular o produto escalar \langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle:
\langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle = (1,0,1)\cdot(-7,7,-7) = 1\cdot(-7) + 0\cdot7 + 1\cdot(-7) = -14.

Passo 5

O volume é o valor absoluto desse produto escalar:
\text{Volume} = \bigl|{-14}\bigr| = 14.

Resposta

O volume do paralelepípedo é 14.

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