Questão 15) Ar entra a 288 K e 101 kPa no compressor de uma turbina a gás, onde é comprimido até 808 kPa e 640 K . Calor é então transferido para o ar na quantidade de 980 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, antes que ele entre na turbina. Considerando uma eficiência da turbina de 83 \%, determine (a) a fração do trabalho da turbina usada para acionar o compressor e (b) a eficiência térmica. Considere calores específicos variáveis para o ar:
C p_{a r}=1,05-0,000365 \mathrm{~T}+8,5 \cdot 10^{-7} \mathrm{~T}^{2}-3,9 \cdot 10^{-10} \mathrm{~T}^{3}\left[\frac{\mathrm{~kJ}}{\mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~K}}\right]
R_{a r}=286\left[\frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~K}}\right] ; \quad k_{a r}=\frac{C p_{a r}}{C v_{a r}} \quad ; \quad C v_{a r}=C p_{a r}-R_{a r}

Passo 1

O enunciado apresenta um ciclo de turbina a gás com ar como fluido de trabalho, passando por:
– Compressor: entrada em (T_1=288\rm \,K,\;P_1=101\rm\,kPa), saída em (T_2=640\rm\,K,\;P_2=808\rm\,kPa).
– Aquecimento a pressão constante P_2=P_3=808\rm\,kPa, com calor fornecido q_{in}=980\rm\,kJ/kg, elevando a temperatura até T_3.
– Expansão na turbina de P_3=808\rm\,kPa até P_4=P_1=101\rm\,kPa, com eficiência isentrópica \eta_{t}=0,83.
Conteúdo: balanço de energia em componentes (compressor e turbina), propriedades do ar com C_p(T) variável, definição de eficiência de turbina e eficiência térmica do ciclo.
O que vamos precisar:
  1. Calcular trabalho do compressor
  2. Determinar T_3 a partir de q_{in}=\int_{T_2}^{T_3}C_p(T)\,dT (aproximado por C_{p,\,médio}é).
  3. Determinar temperatura final isentrópica T_{4s} pela relação isentrópica aproximada
  4. Calcular trabalho ideal e real da turbina
  5. Calcular fração do trabalho e eficiência térmica

Passo 2

Cálculo aproximado do trabalho específico no compressor w_c=h_2-h_1\approx C_{p,\,\rm comp\,médio}\,(T_2-T_1)é.
  1. Avaliamos C_p em T_1=288\rm\,K e T_2=640\rm\,K usando
C_p(T)=1{,}05-0{,}000365\,T+8{,}5\times10^{-7}T^2-3{,}9\times10^{-10}T^3\quad[\rm kJ/(kg\,K)].
  1. Encontramos
C_{p1}\approx1{,}004,\quad C_{p2}\approx1{,}063\quad\Longrightarrow\quad C_{p,\,\rm comp\,médio}\approx\frac{1{,}004+1{,}063}{2}=1{,}033\rm\,kJ/(kg\,K).é
  1. Logo
w_c\approx1{,}033\,(640-288)=1{,}033\times352\approx363{,}7\rm\,kJ/kg.

Passo 3

Determinamos T_3 tal que
q_{in}=\int_{T_2}^{T_3}C_p(T)\,dT\approx C_{p,\,\rm heat\,médio}\,(T_3-T_2)=980\rm\,kJ/kg.é
  1. Estimamos C_{p} em T_2 e numa estimativa inicial de T_3. Primeiro usemos C_{p,\,\rm heat\,médio}\approx1{,}055\rm\,kJ/(kg\,K)é.
  2. Então
T_3\approx T_2+\frac{980}{1{,}055}=640+929\approx1569\rm\,K.

Passo 4

Expansão isentrópica ideal: achamos T_{4s} usando a relação
T_{4s}=T_3\Bigl(\frac{P_4}{P_3}\Bigr)^{\frac{k-1}{k}},
onde k=\dfrac{C_{p,\,\rm exp\,médio}}{C_{v,\,\rm exp\,médio}}éé e C_{v}=C_{p}-R, com R=0{,}286\rm\,kJ/(kg\,K).
  1. Iteramos para estimar C_{p,\,\rm exp\,médio}é entre T_3 e T_{4s}, convergindo para
C_{p,\,\rm exp\,médio}\approx1{,}097\rm\,kJ/(kg\,K), \quad C_{v,\,\rm exp\,médio}=1{,}097-0{,}286=0{,}811, \quad k\approx1{,}353.éé
  1. Assim
T_{4s}=1569\Bigl(\tfrac{101}{808}\Bigr)^{\frac{1{,}353-1}{1{,}353}} \approx1569\,(0,125)^{0{,}261}\approx806\rm\,K.

Passo 5

Trabalho isentrópico ideal da turbina
w_{t,\,\rm id}=h_3-h_{4s}\approx C_{p,\,\rm exp\,médio}\,(T_3-T_{4s}) =1{,}097\,(1569-806)\approx837\rm\,kJ/kg.é
Trabalho real
w_{t}= \eta_{t}\,w_{t,\,\rm id}=0{,}83\times837\approx694\rm\,kJ/kg.

Passo 6

(a) Fração do trabalho da turbina usado no compressor:
\frac{w_c}{w_t}=\frac{363{,}7}{694}\approx0{,}52\;(52\%).

Passo 7

(b) Eficiência térmica do ciclo:
\eta_{th}=\frac{w_t-w_c}{q_{in}} =\frac{694-364}{980}\approx\frac{330}{980}\approx0{,}337\;(33{,}7\%).

Resposta

(a) w_c/w_t\approx0,52
(b) \eta_{th}\approx0,34 (ou 33{,}7\%)

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