Questão 17. Calcule \int f(x) d x onde f é dada abaixo:
f(x)=\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x}\,dx.
O conteúdo central aqui é manipular radicais por substituições sucessivas: primeiro u=\sqrt{x} para eliminar a raiz de x, depois t=\sqrt{1+u} para simplificar o numerador. Também usaremos decomposição em frações simples para integrar uma razão algébrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{x}, \quad x = u^2, \quad dx = 2u\,du.
No integrando temos \sqrt{x}=u e
\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x}\,dx = \frac{\sqrt{1+u}}{u^2}\cdot(2u\,du) = 2\,\frac{\sqrt{1+u}}{u}\,du.
Portanto a integral vira
I = 2\int \frac{\sqrt{1+u}}{u}\,du.

Passo 3

Para integrar 2\int\tfrac{\sqrt{1+u}}{u}\,du, fazemos a segunda substituição
t = \sqrt{1+u} \;\Longrightarrow\; t^2 = 1+u,\; u = t^2 - 1,\; du = 2t\,dt.
Então \sqrt{1+u}=t e u=t^2-1, de modo que
\frac{\sqrt{1+u}}{u}\,du = \frac{t}{t^2-1}\,(2t\,dt) = \frac{2t^2}{t^2-1}\,dt.
Logo
I = 2\int \frac{\sqrt{1+u}}{u}\,du = 2\int \frac{2t^2}{t^2-1}\,dt = 4\int \frac{t^2}{t^2-1}\,dt.

Passo 4

Reescrevemos
\frac{t^2}{t^2-1} = \frac{t^2-1+1}{t^2-1} = 1 + \frac{1}{t^2-1},
portanto
I = 4\int 1\,dt + 4\int \frac{1}{t^2-1}\,dt = 4t + 4\int \frac{1}{t^2-1}\,dt + C.
A primitiva padrão é
\int \frac{1}{t^2-1}\,dt = \frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{t-1}{t+1}\Bigr| + K.

Passo 5

Substituindo de volta em I:
I = 4t + 4\cdot\frac12\ln\Bigl|\frac{t-1}{t+1}\Bigr| + C = 4t + 2\ln\Bigl|\frac{t-1}{t+1}\Bigr| + C.
Como t=\sqrt{1+u} e u=\sqrt{x}, concluímos
\int \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x}\,dx = 4\sqrt{1+\sqrt{x}} + 2\ln\Biggl|\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}-1}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}\Biggr| + C.

Resposta

\int \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x}\,dx = 4\sqrt{1+\sqrt{x}} + 2\ln\Biggl|\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}-1}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}\Biggr| + C.

Exercícios relacionados