Questão 18: Considere um corpo de prova cilíndrico feito a partir de uma liga de aço, módulo de elasticidade de 207 GPa , com 10 mm de diâmetro e 75 mm de comprimento, puxado em tração. Determine o seu alongamento quando uma carga de 23.500 N é aplicada.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o alongamento do corpo de prova cilíndrico quando uma carga é aplicada. Dados fornecidos:
  • Força aplicada: F = 23500\\ \text{N}.
  • Diâmetro do cilindro: d = 10\\ \text{mm}.
  • Comprimento inicial: L = 75\\ \text{mm}.
  • Módulo de elasticidade (módulo de Young): E = 207\\ \text{GPa}.
O que precisamos encontrar: o alongamento axial \Delta L provocado por F.

Passo 2

Passo importante: colocar todas as quantidades no mesmo sistema de unidades (SI) antes de calcular.
  • Converter comprimento e diâmetro para metros: d = 10\\ \text{mm} = 0,010\\ \text{m}, \qquad L = 75\\ \text{mm} = 0,075\\ \text{m}.
  • Converter o módulo de elasticidade para pascals: E = 207\\ \text{GPa} = 207\times10^{9}\\ \text{Pa}.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal do cilindro. Para um círculo:
A = \frac{\pi d^{2}}{4},
onde A é a área em metros quadrados e d é o diâmetro em metros. Substituindo d=0,010\\ \text{m}:
A = \frac{\pi (0,010)^{2}}{4} = \frac{\pi \cdot 0,0001}{4} = 0,000025\pi\\ \text{m}^{2}.
Agora uma aproximação numérica (mantendo \pi \approx 3{,}14159265):
A \approx 0,000025 \times 3{,}14159265 = 7{,}8539816\times10^{-5}\\ \text{m}^{2}.

Passo 4

Relembrando conceitos (rápido e prático):
  • Tensão axial (stress) é definida por \sigma = \frac{F}{A},onde \sigma tem unidades de pascal ( \text{Pa}).
  • Deformação axial (strain) é \varepsilon = \frac{\Delta L}{L},adimensional.
  • Para comportamento elástico linear (Lei de Hooke), a relação é \sigma = E\,\varepsilon.
Combinar as três equações dá a fórmula prática para o alongamento:
\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{A E} \quad\Rightarrow\quad \Delta L = \varepsilon L = \frac{F L}{A E}.
Aqui: F em newtons, L em metros, A em metros quadrados e E em pascals produzirão \Delta L em metros.

Passo 5

Aplicar a fórmula \Delta L = \dfrac{F L}{A E} com os valores numéricos que já temos.
Primeiro, calcular o numerador:
F L = 23500 \times 0,075 = 1762{,}5\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Já o denominador A E:
A E \approx \left(7{,}8539816\times10^{-5}\right)\times\left(207\times10^{9}\right).
Fazendo a multiplicação (organizando potências de dez):
A E \approx 7{,}8539816\times207\times10^{-5+9} = 7{,}8539816\times207\times10^{4}.
Calcule 7{,}8539816\times207 \approx 16257{,}777. Assim
A E \approx 16257{,}777\times10^{4} = 1{,}6257777\times10^{8}\\ \text{N}.
(Observe que em unidades: \text{m}^{2}\times\text{Pa}=\text{N}.)
Agora \Delta L:
\Delta L = \frac{1762{,}5}{1{,}6257777\times10^{8}} \\ \text{m}.
Dividindo:
\Delta L \approx 1{,}0841\times10^{-4}\\ \text{m}.
Converter para milímetros ( 1\\ \text{m}=1000\\ \text{mm}):
\Delta L \approx 1{,}0841\times10^{-4}\times1000 = 0,10841\\ \text{mm}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida de ordem de grandeza: um alongamento de cerca de uma décima de milímetro num corpo de prova de 75\\ \text{mm} sob essa força é razoável para aço com E grande — sinal de comportamento elástico pequeno, como esperado. Vai bem! Dá pra usar essa fórmula direto na prova: lembrar de converter unidades, calcular A, usar \Delta L = FL/(AE) e pronto.

Resposta

\Delta L \approx 0,108\\ \text{mm}

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