Questão 19. 5 pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes?

Passo 1

O enunciado pede para sentar 5 pessoas distintas em 15 cadeiras dispostas em torno de uma mesa circular, de modo que não haja ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes. O conteúdo principal aqui é a contagem de escolhas de cadeiras sem adjacência num círculo, seguida da permutação das pessoas nessas cadeiras.

Passo 2

Para contar de quantas formas podemos escolher 5 cadeiras entre 15 dispostas em círculo sem que duas escolhidas sejam adjacentes, usamos o resultado clássico: se n cadeiras em círculo e queremos escolher k posições sem adjacência, o número de escolhas é
\frac{n}{\,n-k\,}\binom{n-k}{k}.
Aqui n=15 e k=5, logo
\text{número de escolhas de cadeiras} =\frac{15}{15-5}\binom{15-5}{5} =\frac{15}{10}\binom{10}{5} =\frac{15}{10}\times 252 =378.ú

Passo 3

Cada conjunto de 5 cadeiras escolhidas pode receber as 5 pessoas de 5! maneiras distintas, pois são pessoas distintas. Assim, o número de arranjos das pessoas nas cadeiras escolhidas é
5! = 120.

Passo 4

Multiplicando as escolhas de cadeiras pelo número de permutações das pessoas, obtemos o total de modos possíveis:
378 \times 120 = 45360.

Resposta

45360

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