Questão 20 -
Uma esfera isolada de zinco com raio r, carregada com um potencial negativo \mathrm{V}_{0} (assumindo que o potencial em pontos infinitamente distantes seja zero), colocada no espaço livre, está sendo continuamente irradiada por luz ultravioleta com comprimento de onda \lambda. O comprimento de onda de corte para que haja efeito fotoelétrico para o zinco é \lambda_{0}. Considerando c como sendo a velocidade da luz no vácuoo, h a constante de Planck, \varepsilon_{0} a permissividade elétrica do vácuo, -e a carga do elétron e m a massa do elétron, qual das alternativas a seguir encontra-se correta?
a) A máxima velocidade de um fotoelétron imediatamente após a sua ejeção é \sqrt{\frac{h c}{m}\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda_{0}}\right)}.
b) A máxima velocidade de um fotoelétron a uma grande distância da esfera é \sqrt{\frac{h c}{m}\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda_{0}}\right)+\frac{e V_{0}}{m}}.
c) O potencial elétrico da esfera após irradiação prolongada é -\frac{2 \mathrm{hc}}{\mathrm{e}}\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda_{0}}\right).
d) O número total de fotoelétrons emitidos pela esfera é \frac{4 \pi \varepsilon_{0} r}{\mathrm{e}}\left[\frac{\mathrm{hc}}{\mathrm{e}}\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda_{0}}\right)+\mathrm{V}_{0}\right].
e) Qualquer radiação com comprimento de onda superior a \lambda_{0} é capaz de ejetar elétrons dessa esfera.

Passo 1

O enunciado trata do efeito fotoelétrico numa esfera metálica de raio r, inicialmente mantida a potencial V_{0}<0 (referido a infinito), irradiada por luz de comprimento de onda \lambda, com comprimento de onda de corte \lambda_{0}.
Conteúdos necessários:
– Equação de Einstein para o efeito fotoelétrico: energia cinética máxima inicial dos elétrons
– Relação potencial–carga de uma esfera isolada: Q = 4\pi\varepsilon_{0}\,r\,V
– Conservação de energia ao sair da esfera até o infinito

Passo 2

Energia cinética máxima imediatamente após a ejeção (na superfície da esfera) vem de
\tfrac12 m v_{\rm surf}^{2} = h\nu - \varphi
onde h\nu = \dfrac{hc}{\lambda} e \varphi = \dfrac{hc}{\lambda_{0}}. Logo,
v_{\rm surf} = \sqrt{\frac{2}{m}\,\Bigl(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda_{0}}\Bigr)}
(isto descarta a alternativa a), que falta o fator 2).

Passo 3

Ao afastar-se até o infinito, o elétron perde ou ganha energia potencial elétrica. Na superfície, seu potencial elétrico é V_{0}, de modo que sua energia potencial (elétron de carga -e) é
U_{\rm surf} = q\,V_{0} = -e\,V_{0}.
No infinito V=0, então
\frac12 m v_{\infty}^{2} = \frac12 m v_{\rm surf}^{2} + \bigl(U_{\rm surf}-0\bigr) = \Bigl(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda_{0}}\Bigr)-e\,V_{0}.
Disto conclui-se que a alternativa b) também está fora de acordo (além de faltar o 2).

Passo 4

Finalmente, ao longo da irradiação a esfera perde carga até que seu potencial chegue a
V_{\rm final} =\frac{h\nu-\varphi}{e} =\frac{hc}{e}\Bigl(\frac1\lambda-\frac1{\lambda_{0}}\Bigr),
quando para a emissão. A variação de potencial é
\Delta V = V_{\rm final}-V_{0},
e a mudança de carga na esfera vale
\Delta Q = 4\pi\varepsilon_{0}\,r\;\Delta V =4\pi\varepsilon_{0}\,r\Bigl[\frac{hc}{e}\Bigl(\frac1\lambda-\frac1{\lambda_{0}}\Bigr)-V_{0}\Bigr].
Como cada elétron transporta carga -e, o número total de elétrons emitidos é
N = \frac{\Delta Q}{e} = \frac{4\pi\varepsilon_{0}\,r}{e} \Bigl[\frac{hc}{e}\Bigl(\frac1\lambda-\frac1{\lambda_{0}}\Bigr)-V_{0}\Bigr].
Comparando com a alternativa d), vemos que ela coincide com esta expressão (tomando cuidado com o sinal de V_{0} negativo).

Resposta

d) O número total de fotoelétrons emitidos pela esfera é
\frac{4\pi\varepsilon_{0}\,r}{e}\Bigl[\frac{hc}{e}\Bigl(\frac1\lambda-\frac1{\lambda_{0}}\Bigr)+V_{0}\Bigr].

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