QUESTÃO 3. (20 Pts) Resolva os sistemas e classifique-os.
\left\{\begin{array}{c}x-2 y+z=0 \\\\ -2 x+3 y+2 z=0 \\\\ 2 x-4 y+2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x-2y+z=0,\\[4pt] -2x+3y+2z=0,\\[4pt] 2x-4y+2z=0, \end{cases}
e pede duas coisas: (1) resolver o sistema, isto é, encontrar todos os pares (x,y,z) que satisfazem as três equações; (2) classificar o sistema (se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução). Informações relevantes que já podemos anotar sem resolver ainda: o sistema é homogêneo (o lado direito de todas as equações é zero), o que garante que a solução trivial (0,0,0) sempre existe.]

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema e usar eliminação de Gauss (operações elementares de linha) para simplificar o sistema. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 2 & -4 & 2 & 0 \end{array}\right].
Breve explicação didática: operações elementares de linha são (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema e servem para obter pivôs (1’s) e zerar entradas abaixo (ou acima) deles.]

Passo 3

Começamos usando a primeira linha como pivô para eliminar as entradas nas posições (2,1) e (3,1).
Fazemos L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1. Calculemos cada entrada:
  • Para L_2 + 2L_1: -2+2\cdot 1=0, 3+2\cdot(-2)=3-4=-1, 2+2\cdot 1=4, e o lado direito 0+2\cdot 0=0.
  • Para L_3 - 2L_1: 2-2\cdot 1=0, -4-2\cdot(-2)=-4+4=0, 2-2\cdot 1=0, e o lado direito 0-2\cdot 0=0.
A matriz fica então
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora simplificamos a segunda linha multiplicando por -1: L_2 \leftarrow -L_2. Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Observação importante (didática): a presença de uma linha zero indica que uma das equações é combinação linear das outras — de fato, olhando para as equações originais, vemos que a terceira equação é 2 vezes a primeira, o que causa a linha nula. O número de linhas não nulas após a eliminação é o posto (rank) da matriz de coeficientes; aqui o posto é 2.]

Passo 5

Interpretação do posto para o sistema homogêneo: temos n=3 variáveis e \mathrm{rank}=2. Para um sistema homogêneo, sempre existe pelo menos a solução trivial; se \mathrm{rank}<n, existem infinitas soluções com dimensão do espaço solução igual a n-\mathrm{rank}. Aqui n-\mathrm{rank}=3-2=1, ou seja, o espaço das soluções é uma reta (um parâmetro livre). Vamos agora encontrar explicitamente essa família de soluções.

Passo 6

A matriz reduzida corresponde ao sistema triangular
\begin{cases} x-2y+z=0,\\[4pt] y-4z=0. \end{cases}
Da segunda equação temos diretamente y-4z=0, portanto
y=4z.
Substituímos esse valor na primeira equação:
x-2(4z)+z=0.
Calculemos passo a passo:
x-8z+z=0 \quad\Rightarrow\quad x-7z=0 \quad\Rightarrow\quad x=7z.]

Passo 7

Introduzimos um parâmetro livre para z. Seja t\in\mathbb{R} e tome z=t. Então
x=7t,\qquad y=4t,\qquad z=t.
Portanto todas as soluções são da forma
(x,y,z)=t(7,4,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
A base do espaço solução é o vetor (7,4,1) e a dimensão do espaço solução é 1.

Passo 8

Classificação final (explicando o porquê): o sistema é homogêneo e tem posto menor que o número de incógnitas ( \mathrm{rank}=2<3), logo é um sistema indeterminado com infinitas soluções, formando uma reta através da origem no espaço \mathbb{R}^3.

Resposta

(x,y,z)=t(7,4,1),\\ t\in\mathbb{R}.
Sistema homogêneo indeterminado com infinitas soluções (espaço solução de dimensão 1).