e pede duas coisas: (1) resolver o sistema, isto é, encontrar todos os pares (x,y,z) que satisfazem as três equações; (2) classificar o sistema (se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução). Informações relevantes que já podemos anotar sem resolver ainda: o sistema é homogêneo (o lado direito de todas as equações é zero), o que garante que a solução trivial (0,0,0) sempre existe.]
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada do sistema e usar eliminação de Gauss (operações elementares de linha) para simplificar o sistema. A matriz aumentada é
Breve explicação didática: operações elementares de linha são (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema e servem para obter pivôs (1’s) e zerar entradas abaixo (ou acima) deles.]
Passo 3
Começamos usando a primeira linha como pivô para eliminar as entradas nas posições (2,1) e (3,1).
Fazemos L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1. Calculemos cada entrada:
Para L_2 + 2L_1: -2+2\cdot 1=0, 3+2\cdot(-2)=3-4=-1, 2+2\cdot 1=4, e o lado direito 0+2\cdot 0=0.
Para L_3 - 2L_1: 2-2\cdot 1=0, -4-2\cdot(-2)=-4+4=0, 2-2\cdot 1=0, e o lado direito 0-2\cdot 0=0.
Observação importante (didática): a presença de uma linha zero indica que uma das equações é combinação linear das outras — de fato, olhando para as equações originais, vemos que a terceira equação é 2 vezes a primeira, o que causa a linha nula. O número de linhas não nulas após a eliminação é o posto (rank) da matriz de coeficientes; aqui o posto é 2.]
Passo 5
Interpretação do posto para o sistema homogêneo: temos n=3 variáveis e \mathrm{rank}=2. Para um sistema homogêneo, sempre existe pelo menos a solução trivial; se \mathrm{rank}<n, existem infinitas soluções com dimensão do espaço solução igual a n-\mathrm{rank}. Aqui n-\mathrm{rank}=3-2=1, ou seja, o espaço das soluções é uma reta (um parâmetro livre). Vamos agora encontrar explicitamente essa família de soluções.
Passo 6
A matriz reduzida corresponde ao sistema triangular
Introduzimos um parâmetro livre para z. Seja t\in\mathbb{R} e tome z=t. Então
x=7t,\qquad y=4t,\qquad z=t.
Portanto todas as soluções são da forma
(x,y,z)=t(7,4,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
A base do espaço solução é o vetor (7,4,1) e a dimensão do espaço solução é 1.
Passo 8
Classificação final (explicando o porquê): o sistema é homogêneo e tem posto menor que o número de incógnitas (\mathrm{rank}=2<3), logo é um sistema indeterminado com infinitas soluções, formando uma reta através da origem no espaço \mathbb{R}^3.
Resposta
(x,y,z)=t(7,4,1),\\ t\in\mathbb{R}.
Sistema homogêneo indeterminado com infinitas soluções (espaço solução de dimensão 1).