Questão 20. Sejam A_{1} e A_{2} anéis e considere o anel produto A_{1} \times A_{2}. Prove que as funções
\begin{aligned} \pi_{1}: A_{1} \times A_{2} & \longrightarrow A_{1} & \pi_{2}: A_{1} \times A_{2} & \longrightarrow A_{2} \\\ \left(a_{1}, a_{2}\right) & \longmapsto a_{1} & \left(a_{1}, a_{2}\right) & \longmapsto a_{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois anéis A_{1} e A_{2}, as projeções
\pi_{1}\colon A_{1}\times A_{2}\longrightarrow A_{1},\quad (a_{1},a_{2})\mapsto a_{1},
\pi_{2}\colon A_{1}\times A_{2}\longrightarrow A_{2},\quad (a_{1},a_{2})\mapsto a_{2},
são homomorfismos de anéis. Para isso, vamos usar a definição de anel produto (operações coordenada a coordenada) e a definição de homomorfismo de anéis (preservar soma, produto e unidade).

Passo 2

Lembrando a estrutura de anel em A_{1}\times A_{2}: para quaisquer (a_{1},a_{2}) e (b_{1},b_{2}) em A_{1}\times A_{2},
(a_{1},a_{2}) + (b_{1},b_{2}) = (\,a_{1}+b_{1},\,a_{2}+b_{2}\,),
(a_{1},a_{2}) \cdot (b_{1},b_{2}) = (\,a_{1}b_{1},\,a_{2}b_{2}\,),
e a unidade é \,(1_{A_{1}},1_{A_{2}}).

Passo 3

Mostramos que \pi_{1} preserva a soma. Dados (a_{1},a_{2}) e (b_{1},b_{2}),
\pi_{1}\bigl((a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2})\bigr) =\pi_{1}\bigl(a_{1}+b_{1},\,a_{2}+b_{2}\bigr) = a_{1}+b_{1} =\pi_{1}(a_{1},a_{2}) + \pi_{1}(b_{1},b_{2}).

Passo 4

Mostramos que \pi_{1} preserva o produto.
\pi_{1}\bigl((a_{1},a_{2})\cdot(b_{1},b_{2})\bigr) =\pi_{1}\bigl(a_{1}b_{1},\,a_{2}b_{2}\bigr) = a_{1}b_{1} =\pi_{1}(a_{1},a_{2})\,\pi_{1}(b_{1},b_{2}).

Passo 5

Mostramos que \pi_{1} envia a unidade em A_{1}\times A_{2} na unidade de A_{1}:
\pi_{1}(1_{A_{1}},1_{A_{2}})=1_{A_{1}}.
Portanto \pi_{1} é homomorfismo de anéis (com unidade). De modo análogo, troca-se os papéis de A_{1} e A_{2} para ver que \pi_{2} também preserva soma, produto e unidade.

Passo 6

Observe ainda que \pi_{1} e \pi_{2} são sobrejetivas pois, dado a_{1}\in A_{1},
\pi_{1}(a_{1},0_{A_{2}})=a_{1},
e dado a_{2}\in A_{2},
\pi_{2}(0_{A_{1}},a_{2})=a_{2}.

Resposta

As projeções \pi_{1} e \pi_{2} são homomorfismos de anéis (com unidade) e são sobrejetivas.

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