Questão 20. Usando a mudança de variável v=x+y, resolva
\operatorname{tg}^{2}(x+y)-\frac{d y}{d x}=0
(Resp. 2(x-y)=C+\sin 2(x+y).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\tan^{2}(x+y)-\frac{dy}{dx}=0
e pede para usar a mudança de variável v=x+y. O conteúdo aqui envolve substituição em EDO de primeira ordem, separação de variáveis e integração usando identidade trigonométrica.

Passo 2

Definimos
v = x + y,
logo
y = v - x \quad\text{e}\quad \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1.
Como a equação diz \frac{dy}{dx} = \tan^{2}(x+y), isto é
\frac{dy}{dx} = \tan^{2}(v),
temos
\frac{dv}{dx} - 1 = \tan^{2}(v) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx} = 1 + \tan^{2}(v).

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
1 + \tan^{2}(v) = \operatorname{sec}^{2}(v),
logo a EDO em v fica
\frac{dv}{dx} = \operatorname{sec}^{2}(v) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dv} = \cos^{2}(v).
Agora separamos variáveis e integramos:
\int \cos^{2}(v)\,dv = \int dx.

Passo 4

Para integrar \cos^{2}(v) usamos
\cos^{2}(v) = \frac{1 + \cos(2v)}{2}.
Assim
\int \cos^{2}(v)\,dv = \frac12\int\bigl(1+\cos(2v)\bigr)\,dv = \frac{v}{2} + \frac{\sin(2v)}{4} + C.

Passo 5

O lado direito dá
\int dx = x + C_1.
Igualando as duas integrais:
\frac{v}{2} + \frac{\sin(2v)}{4} = x + C_1.
Multiplicando tudo por 4 e juntando constantes em C:
2v + \sin(2v) = 4x + C.

Passo 6

Volta para v=x+y:
2(x+y) + \sin\bigl(2(x+y)\bigr) = 4x + C \quad\Longrightarrow\quad \sin\bigl(2(x+y)\bigr) = 4x - 2x - 2y + C = 2(x-y) + C.

Passo 7

Reescrevendo a constante para a forma final, obtemos
2(x - y) = C + \sin\bigl(2(x+y)\bigr).

Resposta

2(x-y)=C+\sin\bigl(2(x+y)\bigr).

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