Questão 21. Sabemos que a EDO
y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+Q(x) y=0
possui duas soluções L.I. da forma y_{1}(x)=u(x) e y_{2}(x)=x u(x), onde u(0)=1. Determine sua solução geral.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
y''+4x\,y'+Q(x)\,y=0
e diz que ela possui duas soluções linearmente independentes da forma y_{1}(x)=u(x) e y_{2}(x)=x\,u(x), com a condição u(0)=1. O que se pede: determinar a solução geral da equação (ou seja, escrever y(x) com as constantes de integração).
Informações relevantes fornecidas:
  • A EDO é de segunda ordem linear homogênea com coeficientes dependentes de x.
  • Duas soluções conhecidas são y_{1}=u(x) e y_{2}=x\,u(x).
  • u(0)=1.
  • Q(x) é uma função desconhecida que aparece na EDO e que deverá ser compatível com as soluções dadas.

Passo 2

Vamos usar diretamente o fato de que u(x) e x u(x) são soluções: substituir cada uma na equação para obter relações que envolvem u e Q.
Substituindo y_{1}=u na equação obtemos a primeira relação:
u''+4x\,u'+Q\,u=0. \tag{1}
Agora substituímos y_{2}=x\,u. Primeiro calculamos as derivadas (produto):
(y_2)' = (x u)' = u + x u',
(y_2)'' = (u + x u')' = u' + u' + x u'' = 2u' + x u''.
Substituindo na EDO:
(2u' + x u'') + 4x(u + x u') + Q(x)(x u)=0.
Organizando os termos:
x u'' + 2u' + 4x u + 4x^{2}u' + Q x u = 0.
Para facilitar, escrevemos essa relação como
x u'' + (2 + 4x^{2})u' + (4x + Q x)u = 0. \tag{2}

Passo 3

Agora eliminamos u'' e Q combinando as equações (1) e (2). A equação (1) é
u'' + 4x u' + Q u = 0.
Multiplicando (1) por x para alinhar com (2) temos
x u'' + 4x^{2} u' + Q x u = 0. \tag{1'}
Subtraindo (1’) de (2) (ou seja, (2) - (1’)) cancela os termos x u'' e Q x u, sobrando:
\big(2 + 4x^{2}\big)u' + 4x u - 4x^{2}u' = 0.
Agrupando os termos em u' e u:
(2 + 4x^{2} - 4x^{2})u' + 4x u = 0,
ou seja
2 u' + 4x u = 0.
Dividindo por 2:
u' + 2x u = 0. \tag{3}
Observação de existência em x=0: a equação (3) é válida em todo intervalo onde as manipulações são válidas; além disso foi dada a condição u(0)=1, então podemos integrar (3) passando por x=0.

Passo 4

A equação (3) é uma equação linear de primeira ordem, muito simples — é separável. Reescrevemos e resolvemos por separação de variáveis:
\frac{u'}{u} = -2x.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{u'}{u}\,dx = \int -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|u| = -x^{2} + C.
Exponenciando:
u(x) = C_{0} e^{-x^{2}}.
Usando a condição inicial u(0)=1 temos C_{0}=1. Portanto
u(x)=e^{-x^{2}}.

Passo 5

Agora que encontramos u(x), as duas soluções dadas ficam explícitas:
y_{1}(x)=e^{-x^{2}},\qquad y_{2}(x)=x e^{-x^{2}}.
Essas duas soluções são linearmente independentes (o fator x garante independência), logo a solução geral da EDO é a combinação linear delas:
y(x)=C_{1} e^{-x^{2}} + C_{2} x e^{-x^{2}}.
Opcional (verificação): pode-se recuperar a função Q(x) substituindo u em (1). Calculando u'=-2x e^{-x^{2}} e u''=(-2+4x^{2})e^{-x^{2}} e substituindo em (1) obtém-se Q(x)=2+4x^{2}, o que mostra consistência da solução com uma função Q explícita.

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{-x^{2}}

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