QUESTÃO 22

A função diferenciável y=f(x) é tal que \forall x \in \operatorname{Dom}(f), o ponto (x, f(x)) é solução da equação x y^{3}+2 x y^{2}+x=8. Sabe-se que f(2)=1. Com base nessas informações, calcule f^{\prime}(2) e assinale a opção correta.
(A) \frac{2}{7}
(B) \frac{-2}{7}
(C) \frac{3}{7}
(D) \frac{-3}{7}
(E) \frac{1}{7}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x\,y^3 + 2x\,y^2 + x = 8
onde y=f(x) é diferenciável em todo o domínio. Sabe-se também que f(2)=1. Queremos calcular f'(2) usando diferenciação implícita (regra do produto e regra da cadeia).

Passo 2

Derivamos cada termo em relação a x, lembrando que y=y(x) e, portanto, \frac{d}{dx}y^n = n\,y^{n-1}y'.
– Para x\,y^3: \frac{d}{dx}(x\,y^3) = 1\cdot y^3 + x\cdot 3y^2 y'.
– Para 2x\,y^2: \frac{d}{dx}(2x\,y^2) = 2\cdot y^2 + 2x\cdot 2y\,y'.
– Para x: \frac{d}{dx}(x) = 1.
Derivando o lado direito 8 0. Assim,
y^3 + 3x\,y^2\,y' \;+\; 2y^2 + 4x\,y\,y' \;+\; 1 \;=\; 0.

Passo 3

Agrupando os termos com y' e os termos sem y', temos
(3x\,y^2 + 4x\,y)\,y' + (y^3 + 2y^2 + 1) = 0.
Isolando y',
y' = -\frac{y^3 + 2y^2 + 1}{3x\,y^2 + 4x\,y}.

Passo 4

Substituímos x=2 e y=f(2)=1:
– Numerador: 1^3 + 2\cdot1^2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.
– Denominador: 3\cdot2\cdot1^2 + 4\cdot2\cdot1 = 6 + 8 = 14.
Logo,
f'(2) = y'\bigl|_{(2,1)} = -\frac{4}{14} = -\frac{2}{7}.

Resposta

(B) -\tfrac{2}{7}

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