Questão 22. Verifique que as equações abaixo são equações diferenciais exatas e resolva cada equaçào.
\left(6 x^{5} y^{3}+4 x^{3} y^{5}\right) d x+\left(3 x^{6} y^{2}+5 x^{4} y^{4}\right) d y=0 .

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(6 x^{5} y^{3} + 4 x^{3} y^{5})\,dx + (3 x^{6} y^{2} + 5 x^{4} y^{4})\,dy = 0.
Este tipo de equação tem a forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Vamos verificar se ela é exata, ou seja, se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Em caso afirmativo, existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
d\psi = M\,dx + N\,dy
e a solução geral será \psi(x,y)=C.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=6x^{5}y^{3}+4x^{3}y^{5},\quad N(x,y)=3x^{6}y^{2}+5x^{4}y^{4}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =6x^{5}\cdot3y^{2}+4x^{3}\cdot5y^{4} =18x^{5}y^{2}+20x^{3}y^{4},
\frac{\partial N}{\partial x} =3\cdot6x^{5}y^{2}+5\cdot4x^{3}y^{4} =18x^{5}y^{2}+20x^{3}y^{4}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão, existe \psi(x,y) com
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int\bigl(6x^{5}y^{3}+4x^{3}y^{5}\bigr)\,dx =x^{6}y^{3}+x^{4}y^{5}+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo
\frac{\partial \psi}{\partial y} =3x^{6}y^{2}+5x^{4}y^{4}+h'(y) \stackrel{!}{=}N(x,y)=3x^{6}y^{2}+5x^{4}y^{4},
vemos que h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

x^{6}y^{3}+x^{4}y^{5}=C.

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