Questão 22. Verifique que as equações abaixo são equações diferenciais exatas e resolva cada equaçào.
\left(6 x^{5} y^{3}+4 x^{3} y^{5}\right) d x+\left(3 x^{6} y^{2}+5 x^{4} y^{4}\right) d y=0 .
\left(6 x^{5} y^{3}+4 x^{3} y^{5}\right) d x+\left(3 x^{6} y^{2}+5 x^{4} y^{4}\right) d y=0 .
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
Este tipo de equação tem a forma
. Vamos verificar se ela é exata, ou seja, se
. Em caso afirmativo, existe uma função potencial
tal que
e a solução geral será
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por exatidão, existe
com
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Impondo
vemos que
, logo
é constante.