Questão 24 Determine a \in \mathbb{R} de modo que a matriz real A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & a\end{array}\right] seja inversível.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de valores de a\in\mathbb{R} tais que a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & a \end{pmatrix}
seja inversível. Sabemos que, em dimensão 3, isso ocorre exatamente quando \det(A)\neq 0.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha (regra de cofactores). Chamando os menores respectivos de M_{1j}, temos:
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\\ 2 & a\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}2 & 2\\\ 1 & a\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{vmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2:
\begin{vmatrix}1 & 2\\\ 2 & a\end{vmatrix} =1\cdot a - 2\cdot2 = a - 4, \quad \begin{vmatrix}2 & 2\\\ 1 & a\end{vmatrix} =2\cdot a - 2\cdot1 = 2a - 2, \quad \begin{vmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{vmatrix} =2\cdot2 - 1\cdot1 = 3.

Passo 3

Substituindo na expansão,
\det(A) = (a-4) - (2a-2) + 3 = a - 4 - 2a + 2 + 3 = 1 - a.
Para A ser inversível, é preciso \det(A)\neq 0, ou seja,
1 - a \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad a \neq 1.

Resposta

a \neq 1.

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