Questão 25. A área de uma superfície com equação
, onde
e
são contínuas, é
Use isto para encontrar a área de cada superfície dada.
A parte do paraboloide
que está acima do plano
.
A parte do paraboloide
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do paraboloide
acima do plano
(isto é, acima de
). O conteúdo é aplicação da fórmula
onde
é a projeção dessa parte da superfície no plano
.
Passo 2
Primeiro identificamos
e calculamos as derivadas parciais. A condição
vira
logo
é o disco de raio
. Em seguida,
e o integrando é
Passo 3
Para aproveitar a simetria de
, usamos coordenadas polares
com
e
. Então
Passo 4
Calculemos
Fazendo
,
ou
, obtemos
Passo 5
Voltando à área,