Questão 25. A área de uma superfície com equação z=f(x, y), \operatorname{com}(x, y) \in D, onde f_{x} e f_{y} são contínuas, é
A(D)=\iint_{D} \sqrt{1+\left[f_{x}(x, y)\right]^{2}+\left[f_{y}(x, y)\right]^{2}} d A
Use isto para encontrar a área de cada superfície dada.
A parte do paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} que está acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do paraboloide
z = 4 - x^2 - y^2
acima do plano xy (isto é, acima de z=0). O conteúdo é aplicação da fórmula
A(D)=\iint_{D} \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA
onde D é a projeção dessa parte da superfície no plano xy.

Passo 2

Primeiro identificamos D e calculamos as derivadas parciais. A condição z\ge0 vira
4 - x^2 - y^2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 \le 4,
logo D é o disco de raio 2. Em seguida,
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(4 - x^2 - y^2) = -2x, \qquad f_y = -2y,
e o integrando é
\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}.

Passo 3

Para aproveitar a simetria de D, usamos coordenadas polares
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le2 e 0\le\theta\le2\pi. Então
A = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4r^2}\;r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{2} r\sqrt{1+4r^2}\,dr.

Passo 4

Calculemos
I = \int_{0}^{2} r\sqrt{1+4r^2}\,dr.
Fazendo u = 1 + 4r^2, du = 8r\,dr ou r\,dr = \tfrac{du}{8}, obtemos
I = \int_{u(0)}^{u(2)} \sqrt{u}\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\,\frac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{1}^{17} = \frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-1\bigr).

Passo 5

Voltando à área,
A = 2\pi\cdot I = 2\pi \cdot \frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-1\bigr) = \frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2}-1\bigr).

Resposta

A = \frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2} - 1\bigr).

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