Questão 25. Cacule a inversa de cada matriz dada.
B=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ 4 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular a inversa da matriz B. A matriz dada é
B=\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] 4 & 4\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos da matriz são b_{11}=2, b_{12}=-3, b_{21}=4, b_{22}=4.
  • A única pergunta do enunciado é encontrar B^{-1}, a matriz inversa de B, se ela existir.]

Passo 2

Fórmula prática para matrizes 2\times2. Para uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
a inversa (quando existir) é dada por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
onde o determinante \det(A) é
\det(A)=ad-bc.
Explicando cada símbolo:
  • a,b,c,d são os elementos da matriz A conforme a posição mostrada.
  • \det(A) é um número (escala) associado à matriz; se \det(A)=0, a matriz não tem inversa.
  • A matriz à direita é a adjunta (mais precisamente a matriz adjugata) para a matriz 2\times2: troca-se a com d e muda-se de sinal b e c.
Vou usar essa fórmula porque é direta e a mais simples para matrizes 2\times2; ela surge de resolver o sistema linear que define a inversa, mas não precisamos repetir toda a dedução aqui — basta aplicar a fórmula corretamente.]

Passo 3

Identificar a,b,c,d para a nossa matriz B:
a=2,\qquad b=-3,\qquad c=4,\qquad d=4.

Passo 4

Calcular o determinante \det(B) usando \det(B)=ad-bc:
\det(B)=2\cdot 4 - (-3)\cdot 4.
Fazendo as multiplicações passo a passo:
2\cdot 4 = 8, \qquad (-3)\cdot 4 = -12.
Portanto
\det(B)=8 - (-12)=8+12=20.
Como \det(B)=20\neq 0, a matriz B é invertível e podemos aplicar a fórmula da inversa.

Passo 5

Calcular a matriz adjugata (trocar a com d e trocar o sinal de b e c):
\text{adj}(B)=\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & -(-3) \\[4pt] -4 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 3 \\[4pt] -4 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora aplicar a fórmula da inversa:
B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\;\text{adj}(B) =\frac{1}{20}\begin{pmatrix}4 & 3 \\[4pt] -4 & 2\end{pmatrix}.
Podemos simplificar cada entrada dividindo por 20:
\frac{4}{20}=\frac{1}{5},\qquad \frac{3}{20}=\frac{3}{20},\qquad \frac{-4}{20}=-\frac{1}{5},\qquad \frac{2}{20}=\frac{1}{10}.]

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para ter certeza): multiplicar B por B^{-1} deve dar a identidade I_2. Usando as entradas simplificadas:
  • Primeiro elemento (1,1): 2\cdot \tfrac{1}{5} + (-3)\cdot\left(-\tfrac{1}{5}\right)=\tfrac{2}{5}+\tfrac{3}{5}=1.
  • Elemento (1,2): 2\cdot \tfrac{3}{20} + (-3)\cdot \tfrac{1}{10} = \tfrac{6}{20}-\tfrac{6}{20}=0.
  • Elemento (2,1): 4\cdot \tfrac{1}{5} + 4\cdot\left(-\tfrac{1}{5}\right)=\tfrac{4}{5}-\tfrac{4}{5}=0.
  • Elemento (2,2): 4\cdot \tfrac{3}{20} + 4\cdot \tfrac{1}{10}=\tfrac{12}{20}+\tfrac{8}{20}=1.
    Resultado é a matriz identidade, então a inversa está correta.

Resposta

B^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{20} \\[6pt] -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{10}\end{pmatrix}]