Questão 1: ( 1,25 pontos cada) Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - O ponto de interesse é
. - Note que
.
Passo 2
Façamos uma mudança de variável simples para ver melhor a estrutura da fração. Seja
. Então quando
temos
e
. Substituindo:
Agora fatoramos
do numerador:
Passo 3
Para avaliar
reescrevemos
usando exponencial natural:
Logo
Faça a substituição
. Quando
então
. Escrevendo em termos de
:
Passo 4
Usamos agora um limite padrão da exponencial:
Este fato pode ser entendido porque a derivada de
no ponto
é
, e a derivada no ponto
é exatamente o limite do quociente incremental
. Portanto
Passo 5
Voltando ao limite original, lembrando que havíamos obtido um fator
:
Opcionalmente, usar
para escrever