Questão 1: ( 1,25 pontos cada) Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{4^{x}-16}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{4^{x}-16}{x-2}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é 4^{x}.
  • O ponto de interesse é x=2.
  • Note que 16=4^{2}.

Passo 2

Façamos uma mudança de variável simples para ver melhor a estrutura da fração. Seja h=x-2. Então quando x\to2 temos h\to0 e x=2+h. Substituindo:
\frac{4^{x}-16}{x-2}=\frac{4^{2+h}-4^{2}}{h}.
Agora fatoramos 4^{2} do numerador:
\frac{4^{2+h}-4^{2}}{h}=\frac{4^{2}\bigl(4^{h}-1\bigr)}{h}=16\cdot\frac{4^{h}-1}{h}.

Passo 3

Para avaliar \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{4^{h}-1}{h} reescrevemos 4^{h} usando exponencial natural:
4^{h}=e^{h\ln 4}.
Logo
\frac{4^{h}-1}{h}=\frac{e^{h\ln 4}-1}{h}.
Faça a substituição u=h\ln 4. Quando h\to0 então u\to0. Escrevendo em termos de u:
\frac{e^{h\ln 4}-1}{h}=\frac{e^{u}-1}{h}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\frac{u}{h}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\ln 4.

Passo 4

Usamos agora um limite padrão da exponencial:
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Este fato pode ser entendido porque a derivada de e^{u} no ponto u=0 é e^{0}=1, e a derivada no ponto 0 é exatamente o limite do quociente incremental \dfrac{e^{u}-e^{0}}{u-0}. Portanto
\lim_{h\to0}\frac{4^{h}-1}{h}=\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\ln 4 = 1\cdot\ln 4=\ln 4.

Passo 5

Voltando ao limite original, lembrando que havíamos obtido um fator 16:
\lim_{x\to2}\frac{4^{x}-16}{x-2}=16\cdot\lim_{h\to0}\frac{4^{h}-1}{h}=16\cdot\ln 4.
Opcionalmente, usar \ln 4=\ln(2^{2})=2\ln 2 para escrever
16\ln 4=16\cdot 2\ln 2=32\ln 2.

Resposta

\;16\ln 4