Questão 4 (1,25 pontos)

Um veículo se desloca em um ambiente com temperatura (ar atmosférico) de -15^{\circ} \mathrm{C}, sendo que o para-brisa de sua porta dianteira esquerda apresenta espessura de 6 mm e comprimento de 800 mm . A temperatura da superfície interna do para-brisa é de, no mínimo, 10^{\circ} \mathrm{C} enquanto a temperatura do ar que circula internamente ao veículo é de 50 { }^{\circ} C. Sabendo-se que o veículo percorre 55,44 \mathrm{~km} em 30 minutos nesse ambiente, determine o valor mínimo do coeficiente convectivo necessário para prevenir condensação na superfície interna do para-brisa. Dados: k_{\text {Vidro }}=1,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ; k_{A r}= 0,023 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ; v_{A r}=12,5 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \operatorname{Pr}=0,70 ; \overline{N u}_{L}=0,030 \operatorname{Re}_{L}^{0,8} \operatorname{Pr}^{1 / 3}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor mínimo do coeficiente convectivo (interno) necessário para que a temperatura da superfície interna do para-brisa seja, no mínimo, 10^\circ\mathrm{C} (assim evita condensação).
Informações fornecidas (pegar dados do enunciado e da figura):
  • Temperatura do ar externo: T_{\infty,o} = -15^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar interno (dentro do veículo): T_{\infty,i} = 50^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura mínima desejada na superfície interna do vidro: T_{s,i}\ge 10^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura do vidro: t = 6\\ \mathrm{mm} = 0,006\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento característico do para-brisa: L = 800\\ \mathrm{mm} = 0,8\\ \mathrm{m}.
  • Distância percorrida e tempo (para obter velocidade): 55{,}44\\ \mathrm{km} em 30\\ \mathrm{min}.
  • Dados do ar fornecidos:
    • k_{\text{ar}} = 0{,}023\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
    • \nu_{\text{ar}} = 12{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • \mathrm{Pr} = 0{,}70.
  • Condutividade térmica do vidro: k_{\text{vidro}} = 1{,}4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Correlação dada para o Nusselt médio sobre o comprimento L: \overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}030\,\mathrm{Re}_L^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Observação sobre o que será feito (sem ainda resolver): vou calcular a convecção externa (pela velocidade do veículo) usando a correlação dada para obter h_{\text{out}}. Em seguida monto o circuito térmico série (convecção interna h_i — superfície interna — condução no vidro — superfície externa — convecção externa h_{\text{out}} para o ambiente). Usando quedas de temperatura em série, imponho que T_{s,i}=10^\circ\mathrm{C} e resolvo para o h_i mínimo requerido.

Passo 2

Calcular a velocidade do veículo (velocidade do ar relativa ao para-brisa):
  • Distância =55{,}44\\ \mathrm{km} em 30\\ \mathrm{min}=0{,}5\\ \mathrm{h}.
  • Velocidade média em \mathrm{km/h}: V = \frac{55{,}44}{0{,}5}=110{,}88\\ \mathrm{km/h}.
  • Converter para \mathrm{m/s}: V = \frac{110{,}88}{3{,}6}=30{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Breve explicação (didática): a velocidade relativa do ar ao para-brisa é necessária para calcular o número de Reynolds \mathrm{Re}_L, que indica se o escoamento é laminar ou turbulento e entra na correlação do Nusselt médio para convecção forçada sobre placa.

Passo 3

Calcular a convecção externa média usando a correlação dada.
  1. Número de Reynolds sobre o comprimento L:
\mathrm{Re}_L=\frac{V\,L}{\nu_{\text{ar}}}=\frac{30{,}8\cdot0{,}8}{12{,}5\times10^{-6}}\approx1{,}97\times10^{6}.
  1. Prandtl à potência 1/3:
\mathrm{Pr}^{1/3}=0{,}70^{1/3}\approx0{,}888.
  1. Nusselt médio:
\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}030\;\mathrm{Re}_L^{0{,}8}\;\mathrm{Pr}^{1/3}.
Calcular \mathrm{Re}_L^{0{,}8}:
\mathrm{Re}_L^{0{,}8}\approx(1{,}97\times10^{6})^{0{,}8}\approx1{,}09\times10^{5}.
Logo
\overline{\mathrm{Nu}}_L \approx 0{,}030\cdot1{,}09\times10^{5}\cdot0{,}888\approx2{,}89\times10^{3}.
  1. Coeficiente convectivo externo médio h_{\text{out}}:
h_{\text{out}}=\frac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\;k_{\text{ar}}}{L} =\frac{2{,}89\times10^{3}\cdot0{,}023}{0{,}8}\approx83{,}1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
Explicação didática curta: \overline{\mathrm{Nu}}_L é uma forma adimensional de relacionar o transporte convectivo com a condutividade do fluido; multiplicando por k/L obtemos o coeficiente convectivo com unidades físicas.

Passo 4

Montar o circuito térmico em série e relacionar temperaturas e resistências.
  • Fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo) em regime estacionário:
q''=\frac{T_{\infty,i}-T_{\infty,o}}{R_{\text{tot}}},
onde a resistência térmica total por unidade de área é
R_{\text{tot}}=\frac{1}{h_i}+\frac{t}{k_{\text{vidro}}}+\frac{1}{h_{\text{out}}}.
  • A queda de temperatura entre o ar interno e a superfície interna é
\Delta T_{i\to s,i}=T_{\infty,i}-T_{s,i}=q''\cdot\frac{1}{h_i}.
Queremos que T_{s,i}=10^\circ\mathrm{C}. Defina a diferença total
\Delta T_{\text{tot}}=T_{\infty,i}-T_{\infty,o}=50-(-15)=65^\circ\mathrm{C}.
Relacionando quedas de temperatura em série:
\frac{T_{\infty,i}-T_{s,i}}{T_{\infty,i}-T_{\infty,o}}=\frac{\dfrac{1}{h_i}}{R_{\text{tot}}}.
Substituir T_{\infty,i}-T_{s,i}=50-10=40^\circ\mathrm{C} e \Delta T_{\text{tot}}=65^\circ\mathrm{C}:
\frac{40}{65}=\frac{\dfrac{1}{h_i}}{\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{t}{k_{\text{vidro}}}+\dfrac{1}{h_{\text{out}}}}.
A partir dessa igualdade isolamos 1/h_i. Para simplificar, chame
A=\frac{1}{h_i},\qquad B=\frac{t}{k_{\text{vidro}}}+\frac{1}{h_{\text{out}}}.
A equação fica
\frac{40}{65}=\frac{A}{A+B}.
Resolver para A:
\frac{40}{65}(A+B)=A\quad\Rightarrow\quad \frac{40}{65}B = A\Big(1-\frac{40}{65}\Big).
Calcular 1-\dfrac{40}{65}=\dfrac{25}{65}=\dfrac{5}{13}. Então
\frac{40}{65}B = A\cdot\frac{5}{13}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{40}{65}\cdot\frac{13}{5}B=\frac{8}{5}B.
Portanto
\frac{1}{h_i}=A=\frac{8}{5}B \quad\Rightarrow\quad h_i=\frac{5}{8}\frac{1}{B}= \frac{0{,}625}{B}.

Passo 5

Calcular numericamente B e então h_i.
  1. Resistência de condução no vidro:
\frac{t}{k_{\text{vidro}}}=\frac{0{,}006}{1{,}4}=0{,}0042857\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. Resistência convectiva externa (já com h_{\text{out}} calculado):
\frac{1}{h_{\text{out}}}=\frac{1}{83{,}1}\approx0{,}01203\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. Soma:
B=\frac{t}{k_{\text{vidro}}}+\frac{1}{h_{\text{out}}}\approx0{,}0042857+0{,}01203 \approx0{,}016316\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. Finalmente:
h_i=\frac{0{,}625}{B}=\frac{0{,}625}{0{,}016316}\approx38{,}3\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
Explicação didática final: esse h_i é o coeficiente convectivo mínimo necessário entre o ar interno (a 50^\circ\mathrm{C}) e a superfície interna do vidro para que a queda de 40^\circ\mathrm{C} (de 50^\circ\mathrm{C} para 10^\circ\mathrm{C}) corresponda exatamente à fração correta da queda total de 65^\circ\mathrm{C}. Se h_i for menor que esse valor, a superfície interna ficará abaixo de 10^\circ\mathrm{C} e há risco de condensação.

Resposta

h_{i,\min}=38{,}3\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}

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