Questão 26. Mostre que a equação diferencial
\left(x^{4}+y^{4}\right) d x-x y^{3} d y=0
não é exata. Multiplicando a equação por \mu(x, y)=\frac{1}{x^{5}}, mostre que a nova equação é exata. Resolva a equação. (Resp. y^{4}=4 x^{4} \ln x+C x^{4}. ) { }^{1}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(x^{4}+y^{4}\bigr)\,dx \;-\; x\,y^{3}\,dy = 0
e pede para mostrar que ela não é exata, depois multiplicá-la por \mu(x,y)=1/x^{5} para torná-la exata e, por fim, resolver. Para isso precisamos usar os conceitos de exatidão de uma diferencial e fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^{4}+y^{4}, \qquad N(x,y) = -\,x\,y^{3}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 4y^{3}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -\,y^{3}.
Como 4y^{3}\neq -y^{3} em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por
\mu(x,y)=\frac{1}{x^{5}}.
Obtemos a nova equação
\Bigl(x^{-1} + x^{-5}y^{4}\Bigr)\,dx \;-\; y^{3}x^{-4}\,dy = 0.
Aqui definimos
\widetilde M(x,y) = x^{-1}+x^{-5}y^{4}, \qquad \widetilde N(x,y) = -\,y^{3}x^{-4}.
Verificamos a exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} =4y^{3}x^{-5}, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = -\,y^{3}\bigl(-4\bigr)x^{-5} =4y^{3}x^{-5}.
Logo \partial\widetilde M/\partial y = \partial\widetilde N/\partial x e a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = \widetilde M(x,y).
Integramos em relação a x:
\psi(x,y) = \int\bigl(x^{-1}+x^{-5}y^{4}\bigr)\,dx = \int x^{-1}\,dx \;+\; y^{4}\int x^{-5}\,dx = \ln x \;-\;\frac{y^{4}}{4x^{4}} \;+\;h(y).

Passo 5

Para determinar h(y) usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = -\,\frac{4y^{3}}{4x^{4}} + h'(y) = -\,y^{3}x^{-4} + h'(y) \stackrel{!}{=}\widetilde N(x,y) = -\,y^{3}x^{-4}.
Daí h'(y)=0, logo h(y)=C.

Passo 6

A solução implícita é
\psi(x,y)=\ln x - \frac{y^{4}}{4x^{4}} = C.
Rearranjando,
\ln x = C + \frac{y^{4}}{4x^{4}} \;\;\Longrightarrow\;\; y^{4} = 4x^{4}\ln x + C'\,x^{4},
onde C'=-4C é constante arbitrária.

Resposta

y^{4}=4x^{4}\ln x + Cx^{4}.

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