Questão 26. Mostre que a equação diferencial
não é exata. Multiplicando a equação por
, mostre que a nova equação é exata. Resolva a equação. (Resp.
. )
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela não é exata, depois multiplicá-la por
para torná-la exata e, por fim, resolver. Para isso precisamos usar os conceitos de exatidão de uma diferencial e fator integrante.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
Obtemos a nova equação
Aqui definimos
Verificamos a exatidão:
Logo
e a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe
tal que
Integramos em relação a
:
Passo 5
Para determinar
usamos
Daí
, logo
.
Passo 6
A solução implícita é
Rearranjando,
onde
é constante arbitrária.