Questão 27. Mostre que a equação diferencial
y^{2} d x+\left(x^{2}-x y-y^{2}\right) d y=0
não é exata. Multiplicando a equação por \mu(x, y)=\frac{1}{y\left(x^{2}-y^{2}\right)}, mostre que a nova equação é exata. Resolva a equação. (Resp. \frac{1}{2} \ln \frac{x-y}{x+y}+\ln y=\ln C_{1} ou (x-y) y^{2}=C(x+y). )

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
y^{2}\,dx + \bigl(x^{2}-x y - y^{2}\bigr)\,dy = 0
e pede para mostrar que ela não é exata, depois torná-la exata multiplicando por \displaystyle \mu(x,y)=\frac{1}{y\,(x^{2}-y^{2})}
e, finalmente, resolver a equação. Isso faz parte do conteúdo de equações exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Para ver que a equação original não é exata, defino
M(x,y)=y^{2}, \quad N(x,y)=x^{2}-x y - y^{2}
e comparo
\frac{\partial M}{\partial y}=2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x - y.
Como 2y \neq 2x - y, concluímos que a forma não é exata.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por \displaystyle \mu(x,y)=\frac{1}{y\,(x^{2}-y^{2})}.
Isso gera
\tilde M = \frac{y^{2}}{y\,(x^{2}-y^{2})} = \frac{y}{x^{2}-y^{2}}, \qquad \tilde N = \frac{x^{2}-x y - y^{2}}{y\,(x^{2}-y^{2})}.
Calcula-se então
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} =\frac{x^{2}+y^{2}}{(x^{2}-y^{2})^{2}}, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x} =\frac{x^{2}+y^{2}}{(x^{2}-y^{2})^{2}},
e como essas derivadas coincidem, a nova equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \tilde M = \frac{y}{x^{2}-y^{2}}.
Integrando em x (com y constante):
\Phi(x,y) = \int \frac{y}{x^{2}-y^{2}}\,dx = y\cdot\frac{1}{2y}\ln\!\frac{x-y}{x+y} + h(y) = \frac12\ln\!\frac{x-y}{x+y} + h(y).

Passo 5

Para determinar h(y), uso
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -\frac{x}{x^{2}-y^{2}} + h'(y) \stackrel{!}{=} \tilde N = \frac{x^{2}-x y - y^{2}}{y\,(x^{2}-y^{2})}.
Isolando h'(y):
h'(y) = \frac{x^{2}-x y - y^{2}}{y\,(x^{2}-y^{2})} + \frac{x}{x^{2}-y^{2}} = \frac{1}{y},
logo \displaystyle h(y)=\ln y.
Assim
\Phi(x,y) = \frac12\ln\!\frac{x-y}{x+y} + \ln y.

Passo 6

A solução geral implícita é
\Phi(x,y)=\ln C_{1},
ou seja
\frac12\ln\!\frac{x-y}{x+y} + \ln y = \ln C_{1}.
Elevando e^{(\cdot)} e rearranjando, chega-se a
(x - y)\,y^{2} = C\,(x + y),
onde C=C_{1}^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac12\ln\frac{x-y}{x+y} + \ln y = \ln C_{1}
ou (x - y)\,y^{2} = C\,(x + y).

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