Questão 28. Em cada item, verifique se
é um ideal (esquerda ou a direita) do anel
.
,
e
;
Passo 1
O enunciado dá o anel
e o subconjunto
com
. Preciso verificar se
é ideal (esquerdo ou direito) em
. Lembrando que, num anel comutativo como
, ideal esquerdo, direito e bilateral coincidem, e a definição é:
-
é subgrupo de . - Para todo
e , temos .
Passo 2
Mostramos que
é subgrupo de
.
Seja e
com
.
Então
Seja
Então
e
Logo,
é fechado em soma e inverso — é subgrupo aditivo de
.
Passo 3
Verificamos a condição de ideal bilateral. Seja
e
. Então
Como
é comutativo, esse argumento vale tanto para a ação à esquerda quanto à direita.
Resposta
Para todo
, o conjunto
é ideal bilateral de
.