Questão 28. Em cada item, verifique se B \subset A é um ideal (esquerda ou a direita) do anel A.
B=(n), \operatorname{com} n \in \mathbb{Z}_{+}e A=\mathbb{Z};

Passo 1

O enunciado dá o anel A=\mathbb{Z} e o subconjunto B=(n)=n\mathbb{Z} com n\in\mathbb{Z}_{+}. Preciso verificar se B é ideal (esquerdo ou direito) em A. Lembrando que, num anel comutativo como \mathbb{Z}, ideal esquerdo, direito e bilateral coincidem, e a definição é:
  1. B é subgrupo de (A,+).
  2. Para todo a\in A e b\in B, temos a\,b\in B.

Passo 2

Mostramos que B é subgrupo de (\mathbb{Z},+).
Seja b=m\,n e b'=m'\,n com m,m'\in\mathbb{Z}.
Então
b+b'=(m\,n)+(m'\,n)=(m+m')\,n\in n\mathbb{Z}=B,
e
-\,b=-(m\,n)=(-m)\,n\in B.
Logo, B é fechado em soma e inverso — é subgrupo aditivo de \mathbb{Z}.

Passo 3

Verificamos a condição de ideal bilateral. Seja a\in\mathbb{Z} e b=m\,n\in B. Então
a\,b=a\,(m\,n)=(a\,m)\,n\in n\mathbb{Z}=B.
Como \mathbb{Z} é comutativo, esse argumento vale tanto para a ação à esquerda quanto à direita.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{Z}_{+}, o conjunto B=(n)=n\mathbb{Z} é ideal bilateral de \mathbb{Z}.

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