Questão 28. Em cada item, verifique se B \subset A é um ideal (esquerda ou a direita) do anel A.
B=\left\{\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\\ a & b\end{array}\right): a, b \in \mathbb{R}\right\} e A=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o anel A = M_{2}(\mathbb{R}) e o subconjunto
B = \left\{\begin{pmatrix}0 & 0 \\\ a & b\end{pmatrix} : a,b\in\mathbb{R}\right\}.
Queremos ver se B é ideal à esquerda, ideal à direita ou ideal bilateral de A. Para isso, usamos a definição:
B é ideal à esquerda se for subgrupo aditivo e \forall X\in A,\;\forall Y\in B,\;X Y\in B.
B é ideal à direita se for subgrupo aditivo e \forall Y\in B,\;\forall X\in A,\;Y X\in B.

Passo 2

Verificamos que B é subgrupo aditivo de A: dados
Y_{1}=\begin{pmatrix}0&0\a_{1}&b_{1}\end{pmatrix},\quad Y_{2}=\begin{pmatrix}0&0\a_{2}&b_{2}\end{pmatrix},
temos
Y_{1}+Y_{2} =\begin{pmatrix}0&0\a_{1}+a_{2}&b_{1}+b_{2}\end{pmatrix}\in B,
e o inverso aditivo
-\,Y_{1} =\begin{pmatrix}0&0\\\ -a_{1}&-b_{1}\end{pmatrix}\in B.
Logo, B é fechado sob soma e inverso, sendo subgrupo aditivo de A.

Passo 3

Teste de ideal à esquerda. Tome
X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}\in A, \quad Y=\begin{pmatrix}0&0\a&b\end{pmatrix}\in B.
Então
X\,Y =\begin{pmatrix} x_{11}\cdot0 + x_{12}\,a & x_{11}\cdot0 + x_{12}\,b\\[6pt] x_{21}\cdot0 + x_{22}\,a & x_{21}\cdot0 + x_{22}\,b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{12}\,a & x_{12}\,b\\\ x_{22}\,a & x_{22}\,b \end{pmatrix}.
Para pertencer a B seria preciso a primeira linha ser (0,0) para todo a,b, o que exigiria x_{12}=0. Mas x_{12} é arbitrário em X, então nem sempre X\,Y\in B. Portanto, B não é ideal à esquerda.]

Passo 4

Teste de ideal à direita. Com os mesmos X e Y,
Y\,X =\begin{pmatrix} 0\cdot x_{11} + 0\cdot x_{21} & 0\cdot x_{12} + 0\cdot x_{22}\\[6pt] a\cdot x_{11} + b\cdot x_{21} & a\cdot x_{12} + b\cdot x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\ a\,x_{11}+b\,x_{21} & a\,x_{12}+b\,x_{22} \end{pmatrix}.
Esse produto tem sempre a primeira linha (0,0) e qualquer segunda linha, logo Y\,X\in B para todos Y\in B e X\in A. Assim, B é ideal à direita.]

Resposta

B é ideal à direita de A, mas não é ideal à esquerda.

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