Questão 28. Em cada item, verifique se
é um ideal (esquerda ou a direita) do anel
.
e
.
Passo 1
O enunciado dá o anel
e o subconjunto
Queremos ver se
é ideal à esquerda, ideal à direita ou ideal bilateral de
. Para isso, usamos a definição:
– é ideal à esquerda se for subgrupo aditivo e
.
– é ideal à direita se for subgrupo aditivo e
.
–
–
Passo 2
Verificamos que
é subgrupo aditivo de
: dados
temos
e o inverso aditivo
Logo,
é fechado sob soma e inverso, sendo subgrupo aditivo de
.
Passo 3
Teste de ideal à esquerda. Tome
Então
Para pertencer a
seria preciso a primeira linha ser
para todo
, o que exigiria
. Mas
é arbitrário em
, então nem sempre
. Portanto,
não é ideal à esquerda.]
Passo 4
Teste de ideal à direita. Com os mesmos
e
,
Esse produto tem sempre a primeira linha
e qualquer segunda linha, logo
para todos
e
. Assim,
é ideal à direita.]