Questão 30. Calcule cada uma das integrais triplas dadas.
Encontre o volume da bola x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} que está entre os cones z=\sqrt{3 x^{2}+3 y^{2}} e z=\sqrt{\frac{1}{3} x^{2}+\frac{1}{3} y^{2}}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos o volume da região D que fica dentro da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}
e entre os cones
z=\sqrt{3\,(x^{2}+y^{2})} \quad\text{e}\quad z=\sqrt{\tfrac{1}{3}\,(x^{2}+y^{2})}.
O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas para calcular uma integral tripla de volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi.
Para o cone z=\sqrt{3}\,r vem
\rho\cos\varphi=\sqrt{3}\,\rho\sin\varphi \;\Longrightarrow\; \cot\varphi=\sqrt{3} \;\Longrightarrow\; \varphi=\frac{\pi}{6}.
Para o cone z=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\,r vem
\rho\cos\varphi=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\,\rho\sin\varphi \;\Longrightarrow\; \cot\varphi=\tfrac{1}{\sqrt{3}} \;\Longrightarrow\; \varphi=\frac{\pi}{3}.

Passo 3

O elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Os limites da região D são
0\le\rho\le a,\quad \frac{\pi}{6}\le\varphi\le\frac{\pi}{3},\quad 0\le\theta\le2\pi.
Logo
V=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{\pi/6}^{\pi/3}\!\int_{0}^{a} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em \rho e em \theta:
\int_{0}^{a}\rho^{2}\,d\rho =\frac{a^{3}}{3}, \qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Portanto a integral fica
V =2\pi\cdot\frac{a^{3}}{3} \int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 5

Agora integramos em \varphi:
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi =[-\cos\varphi]_{\pi/6}^{\pi/3} =\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{3}-1}{2}.
Substituindo em V
V =2\pi\cdot\frac{a^{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{2} =\frac{\pi a^{3}}{3}\,(\sqrt{3}-1).

Resposta

V = \frac{\pi a^{3}}{3}\,(\sqrt{3}-1).

Exercícios relacionados