Questão 31. Calcule a integral, transformando-a para coordenadas esféricas.
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{16-x^{2}}}^{\sqrt{16-x^{2}}} \int_{-\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2} d z d x d y. [

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-4}^{4}\!\int_{-\sqrt{16 - x^{2}}}^{\sqrt{16 - x^{2}}}\!\int_{-\sqrt{16 - x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{16 - x^{2}-y^{2}}} \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}\,dz\,dy\,dx
sobre a esfera de raio 4. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas esféricas, em que
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
com 0\le\rho\le4, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le2\pi, e volume
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas o integrando fica
(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2} \;=\; (\rho^{2})^{3/2} \;=\;\rho^{3},
e o elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{4}\rho^{3}\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta \;=\; \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{4}\rho^{5}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Separe as integrais em cada variável:
\int_{0}^{2\pi}d\theta \;\times\; \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi \;\times\; \int_{0}^{4}\rho^{5}\,d\rho.

Passo 4

Calcule cada parte:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = 2,
\int_{0}^{4}\rho^{5}\,d\rho = \frac{\rho^{6}}{6}\Bigg|_{0}^{4} = \frac{4^{6}}{6} = \frac{4096}{6} = \frac{2048}{3}.

Passo 5

Multiplicando tudo:
2\pi \;\times\; 2 \;\times\;\frac{2048}{3} \;=\; 4\pi\;\frac{2048}{3} \;=\; \frac{8192\pi}{3}.

Resposta

\boxed{\frac{8192\pi}{3}}

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