Questão 31. Tudo o que é conhecido com relação a uma EDO misteriosa
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)
é que as funções \phi_{1}(x)=x, \phi_{2}(x)=x^{2} e \phi_{3}(x)=x^{3} são soluções.
a) Determine duas soluções L.I. para a EDO homogênea correspondente.
b) Encontre a solução para a EDO satisfazendo y(2)=2, y^{\prime}(2)=5.
c) O que é p(x) ?
Passo 1
O enunciado dá a EDO
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
e informa que as três funções \phi_{1}(x)=x, \phi_{2}(x)=x^{2} e \phi_{3}(x)=x^{3} são soluções dessa mesma equação (ou seja, cada uma satisfaz a equação com o mesmo p,q,f). As perguntas são:
a) Determinar duas soluções linearmente independentes (L.I.) da equação homogênea correspondente.
b) Encontrar a solução da equação (a solução geral do problema com f) que satisfaz as condições iniciais y(2)=2 e y'(2)=5.
c) Determinar p(x).
Informações relevantes fornecidas: \phi_{1}(x)=x, \phi_{2}(x)=x^{2}, \phi_{3}(x)=x^{3} são todas soluções da mesma EDO non-homogênea.
Da teoria: se y_a e y_b são soluções da mesma EDO não-homogênea, então y_a-y_b é solução da homogênea associada.
Passo 2
Usar a ideia básica: a diferença entre duas soluções de uma EDO não-homogênea é solução da homogênea. Vou formar diferenças entre as \phi_i para obter soluções da homogênea.
Calcule as diferenças:
\phi_{2}-\phi_{1}=x^{2}-x,
\phi_{3}-\phi_{2}=x^{3}-x^{2},
\phi_{3}-\phi_{1}=x^{3}-x.
Cada uma dessas três diferenças é solução da homogênea. Vou examinar quais duas dessas são linearmente independentes, porque para a homogênea de segunda ordem precisamos de duas soluções L.I.
Passo 3
Observar dependências entre as diferenças. Note que
x^{3}-x^{2}=x(x^{2}-x),
ou seja,
\phi_{3}-\phi_{2}=x\big(\phi_{2}-\phi_{1}\big),
portanto \phi_{3}-\phi_{2} é múltiplo da função \phi_{2}-\phi_{1} (dependente). Logo não serve como segunda solução independente junto com \phi_{2}-\phi_{1}. Vou escolher as duas diferenças
y_{1}(x)=\phi_{2}-\phi_{1}=x^{2}-x
e
y_{2}(x)=\phi_{3}-\phi_{1}=x^{3}-x,
e verificar se são linearmente independentes.
Passo 4
Calcular o Wronskiano para testar independência. Primeiro as derivadas:
Concluo que W(x) é zero apenas em x=0 ou x=1; em qualquer intervalo que não contenha 0 nem 1 temos W(x)\neq0 e, portanto, y_{1} e y_{2} são linearmente independentes nesse intervalo. Assim são uma base de soluções da homogênea em intervalos onde x\neq0,1.
Passo 5
Resposta da parte (a): duas soluções L.I. da homogênea são
Agora parte (b). A solução geral da equação não-homogênea tem a forma
y(x)=y_{p}(x)+C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x),
onde y_{p} é qualquer solução particular da não-homogênea. Como \phi_{1}(x)=x é uma solução da equação completa, posso escolher y_{p}(x)=x. Então a solução geral é
y(x)=x + A(x^{2}-x) + B(x^{3}-x),
onde troquei C_{1}=A e C_{2}=B para facilitar.
Passo 7
Vou simplificar a expressão para calcular derivada e aplicar as condições iniciais. Reescrevendo:
y(x)=x(1-A-B) + A x^{2} + B x^{3}.
Derivando:
y'(x)=(1-A-B) + 2A x + 3B x^{2}.
Impondo as condições em x=2:
primeira condição y(2)=2:
Parte (c). Para encontrar p(x) uso a identidade de Abel (teorema clássico para equações lineares de 2ª ordem): se y''+p(x)y'+q(x)y=0 é a homogênea, então o Wronskiano W(x) das duas soluções satisfaz
W'(x)+p(x)W(x)=0.
Isto implica
p(x)=-\frac{W'(x)}{W(x)}.
Já calculei o Wronskiano das duas soluções escolhidas e obtive
W(x)=x^{2}(x-1)^{2}.
Passo 11
Calcular W'(x). Posso derivar W(x)=x^{2}(x-1)^{2} usando regra do produto: