Questão 32
Calcular a área da seção reta de um paralelepípedo cuja base é um quadrado de lado a e cujas faces laterais são dois quadrados e dois losangos com ângulo de
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- A base do paralelepípedo é um quadrado de lado
. - As faces laterais são, em conjunto, duas faces que são quadrados e duas faces que são losangos (rombos) cujo ângulo interno é
.
- A base do paralelepípedo é um quadrado de lado
- O que o enunciado pede:
- Calcular a área da seção reta (ou seja, a área de uma das faces laterais que é um losango — a interpretação natural aqui é encontrar a área do losango lateral, já que é essa face que é descrita pelo ângulo
).
- Calcular a área da seção reta (ou seja, a área de uma das faces laterais que é um losango — a interpretação natural aqui é encontrar a área do losango lateral, já que é essa face que é descrita pelo ângulo
Passo 2
Entender a consequência de existirem “duas faces laterais que são quadrados”. Isso nos dá informação sobre a aresta lateral (a aresta que liga a base à face oposta): se uma face lateral é um quadrado e tem um lado igual ao lado da base
, então a aresta lateral tem comprimento igual a
.
Explicando com calma: cada face lateral é um paralelogramo cujos lados são uma aresta do quadrado da base (comprimento
) e a aresta lateral (que vamos chamar de altura inclinada) que une as bases. Se uma dessas faces é um quadrado, então esses dois lados têm o mesmo comprimento. Como o lado da base vale
, segue que a aresta lateral também tem comprimento
.
Portanto, nas faces que são losangos, os dois lados adjacentes também têm comprimento
(pois cada losango lateral é formado por uma aresta da base e por uma aresta lateral, ambas de comprimento
).
Passo 3
Recordar/explicar a fórmula para a área de um paralelogramo (e, em particular, de um losango).
- Um paralelogramo com lados de comprimentos
e e ângulo interno entre eles tem área dada por
Por que isso? Porque a área também vale base vezes altura. Tomando
como base, a altura relativa a essa base é
(componente perpendicular de
), então
.
- Um losango é um caso especial de paralelogramo em que
(os dois lados adjacentes têm mesmo comprimento). Logo, se o lado do losango é e o ângulo entre lados é , a área do losango é
Passo 4
Aplicar a fórmula ao nosso caso. Identificamos que, no losango lateral, cada lado tem comprimento
(Passo 2) e o ângulo entre lados é
(dado). Assim
Passo 5
Calcular
. Sabe-se (ou pode-se demonstrar no triângulo equilátero dividido ao meio) que
Passo 6
Substituir o valor de
na expressão da área: