Questão 32

Calcular a área da seção reta de um paralelepípedo cuja base é um quadrado de lado a e cujas faces laterais são dois quadrados e dois losangos com ângulo de 60^{\circ}.
(A) a^{2}
(B) \frac{a^{2}}{2}
(C) \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2}
(D) \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}
(E) \frac{a^{2} \cdot \sqrt{2}}{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A base do paralelepípedo é um quadrado de lado a.
    • As faces laterais são, em conjunto, duas faces que são quadrados e duas faces que são losangos (rombos) cujo ângulo interno é 60^\circ.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a área da seção reta (ou seja, a área de uma das faces laterais que é um losango — a interpretação natural aqui é encontrar a área do losango lateral, já que é essa face que é descrita pelo ângulo 60^\circ).

Passo 2

Entender a consequência de existirem “duas faces laterais que são quadrados”. Isso nos dá informação sobre a aresta lateral (a aresta que liga a base à face oposta): se uma face lateral é um quadrado e tem um lado igual ao lado da base a, então a aresta lateral tem comprimento igual a a.
Explicando com calma: cada face lateral é um paralelogramo cujos lados são uma aresta do quadrado da base (comprimento a) e a aresta lateral (que vamos chamar de altura inclinada) que une as bases. Se uma dessas faces é um quadrado, então esses dois lados têm o mesmo comprimento. Como o lado da base vale a, segue que a aresta lateral também tem comprimento a.
Portanto, nas faces que são losangos, os dois lados adjacentes também têm comprimento a (pois cada losango lateral é formado por uma aresta da base e por uma aresta lateral, ambas de comprimento a).

Passo 3

Recordar/explicar a fórmula para a área de um paralelogramo (e, em particular, de um losango).
  • Um paralelogramo com lados de comprimentos b e c e ângulo interno entre eles \theta tem área dada por
\text{Área} = b\cdot c\cdot\sin\theta.Á
Por que isso? Porque a área também vale base vezes altura. Tomando b como base, a altura relativa a essa base é c\sin\theta (componente perpendicular de c), então \text{Área}=b\cdot(c\sin\theta)=b c\sin\thetaÁ.
  • Um losango é um caso especial de paralelogramo em que b=c (os dois lados adjacentes têm mesmo comprimento). Logo, se o lado do losango é s e o ângulo entre lados é \theta, a área do losango é
\text{Área do losango} = s^{2}\sin\theta.Á

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso caso. Identificamos que, no losango lateral, cada lado tem comprimento s=a (Passo 2) e o ângulo entre lados é \theta=60^\circ (dado). Assim
\text{Área} = a^{2}\sin 60^\circ.Á

Passo 5

Calcular \sin 60^\circ. Sabe-se (ou pode-se demonstrar no triângulo equilátero dividido ao meio) que
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Substituir o valor de \sin 60^\circ na expressão da área:
\text{Área} = a^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}.Á

Resposta

\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}

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