Questão 33. Uma região R do plano x y é dada. Determine equações para a transformação T que mapeia uma região retangular S no plano u v sobre R, onde todos os lados de S são paralelos aos eixos u e v.
R é limitada por y=2 x-1, y=2 x+1, y=1-x, y=y=3-x.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação T que leva um retângulo S no plano uv numa região R do plano xy. A região R é o paralelogramo limitado por quatro retas:
y=2x-1,\quad y=2x+1,\quad y=1-x,\quad y=3-x.
O conteúdo envolvido é mudança de variáveis via coordenadas afins, escolhendo duas combinações lineares de x e y que transformem essas quatro retas em retas de parâmetro constante em u e v.

Passo 2

Observamos que as duas famílias de retas podem ser escritas como
y-2x=\pm1 \quad\text{e}\quad y+x=1,3.
Assim, definimos as novas variáveis
u = y - 2x, \quad v = y + x.
Com isso, as fronteiras de R passam a ser as retas u=-1, u=1, v=1 e v=3, ou seja, um retângulo em uv.

Passo 3

Para encontrar T, resolvemos o sistema
u = y - 2x, \quad v = y + x.
Da segunda equação vem y = v - x. Substituindo na primeira,
u = (v - x) - 2x = v - 3x \quad\Longrightarrow\quad 3x = v - u \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{v - u}{3}.
Então
y = v - x = v - \frac{v - u}{3} = \frac{2v + u}{3}.

Passo 4

O retângulo S em uv é dado pelos intervalos constantes de u e v:
-1 \le u \le 1, \quad 1 \le v \le 3.

Resposta

A transformação T\colon (u,v)\mapsto(x,y) e o retângulo S são:
T(u,v) = \Bigl(x(u,v),\,y(u,v)\Bigr) = \Bigl(\tfrac{v - u}{3},\,\tfrac{2v + u}{3}\Bigr),
S = \{(u,v)\mid -1 \le u \le 1,\;1 \le v \le 3\}.

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