Questão 33. Uma região
do plano
é dada. Determine equações para a transformação
que mapeia uma região retangular
no plano
sobre
, onde todos os lados de
são paralelos aos eixos
e
.
é limitada por
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação
que leva um retângulo
no plano
numa região
do plano
. A região
é o paralelogramo limitado por quatro retas:
O conteúdo envolvido é mudança de variáveis via coordenadas afins, escolhendo duas combinações lineares de
e
que transformem essas quatro retas em retas de parâmetro constante em
e
.
Passo 2
Observamos que as duas famílias de retas podem ser escritas como
Assim, definimos as novas variáveis
Com isso, as fronteiras de
passam a ser as retas
,
,
e
, ou seja, um retângulo em
.
Passo 3
Para encontrar
, resolvemos o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira,
Então
Passo 4
O retângulo
em
é dado pelos intervalos constantes de
e
:
Resposta
A transformação
e o retângulo
são: