Questão 34. Resolva as EDO’s redutíveis:
y^{\prime \prime}=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO de segunda ordem
y'' = \frac{1}{x}
que é “redutível” porque basta integrar duas vezes em x. Vamos usar a ideia de reduzir a ordem definindo p=y'.

Passo 2

Defina
p(x)=y'(x).
Então
p'(x)=y''(x)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Integramos a relação p'=\tfrac1x:
p(x)=\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Agora temos
y'(x)=\ln\lvert x\rvert + C_{1}.
Integramos de novo para achar y:
y(x)=\int\bigl(\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr)\,dx =\int\ln\lvert x\rvert\,dx + C_{1}\int dx.
Usando \displaystyle\int\ln\lvert x\rvert\,dx = x\ln\lvert x\rvert - x, vem
y(x)=x\ln\lvert x\rvert - x + C_{1}x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Passo 5

Reagrupando as constantes lineares, podemos escrever
y(x)=x\ln\lvert x\rvert + A\,x + B,
com A e B constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=x\ln\lvert x\rvert + C_{1}\,x + C_{2}.

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