Questão 35. Determine a solução geral das EDO’s:
y^{\prime}+\cos (x) y=0 \quad \text { e } \quad y^{\prime}+x^{2} y=e^{-x^{3} / 3}

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral de duas equações diferenciais de primeira ordem lineares. O método é sempre o mesmo: escrevemos cada equação na forma
y' + p(x)\,y = q(x)
e calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int p(x) \, dx}.
Em seguida multiplicamos a equação por \mu(x) para obter
\frac{d}{dx}\bigl(y\,\mu(x)\bigr) = q(x)\,\mu(x),
e integramos ambos os lados.

Passo 2

Para a equação
y' + \cos(x)\,y = 0
temos p(x)=\cos(x), logo
\mu(x) = e^{\int \cos(x)\,dx} = e^{\sin(x)}.
Multiplicando a equação por \mu(x)
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{\sin(x)}\bigr) = 0.
Integrando, obtemos
y\,e^{\sin(x)} = C_1,
portanto
y = C_1\,e^{-\sin(x)}.

Passo 3

Para a equação
y' + x^2\,y = e^{-x^3/3}
temos p(x)=x^2, logo
\mu(x) = e^{\int x^2\,dx} = e^{x^3/3}.
Multiplicando por \mu(x) resulta em
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^3/3}\bigr) = e^{x^3/3}\,e^{-x^3/3} = 1.
Integrando ambos os lados em relação a x, vem
y\,e^{x^3/3} = \int 1\,dx = x + C_2.

Passo 4

Isolando y na expressão anterior, obtemos
y = \bigl(x + C_2\bigr)\,e^{-x^3/3}.

Resposta

A solução geral da primeira EDO é
y = C_1\,e^{-\sin(x)},
e a solução geral da segunda EDO é
y = \bigl(x + C_2\bigr)\,e^{-x^3/3}.

Exercícios relacionados