Questão 35 (UNIMONTES / 2005)
A expressão \frac{(1-\mathrm{i})^{5}-(1-\mathrm{i})^{4}}{(1-\mathrm{i})^{2}} é igual a:
a) 2
b) 2 i
c) -2 i
d) -2

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o valor da expressão
\frac{(1-\mathrm{i})^{5}-(1-\mathrm{i})^{4}}{(1-\mathrm{i})^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve potências da mesma base complexa (1-\mathrm{i}).
  • Preciso simplificar numerador e dividir pelo denominador (1-\mathrm{i})^{2}.
  • As opções oferecidas são 2, 2\mathrm{i}, -2\mathrm{i} e -2 (vou identificar a resposta correta ao final).

Passo 2

Observação algébrica útil (ferramenta que uso aqui): para qualquer número a vale a identidade
a^{5}-a^{4}=a^{4}(a-1).
Vou aplicar essa identidade com a=1-\mathrm{i}. Assim o numerador fica
(1-\mathrm{i})^{5}-(1-\mathrm{i})^{4}=(1-\mathrm{i})^{4}\bigl((1-\mathrm{i})-1\bigr).
Calculando o parêntese:
(1-\mathrm{i})-1=-\mathrm{i}.
Portanto o numerador é (1-\mathrm{i})^{4}(-\mathrm{i}).

Passo 3

Substituo esse resultado na fração e simplifico fator comum:
\frac{(1-\mathrm{i})^{4}(-\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})^{2}}=(1-\mathrm{i})^{2}(-\mathrm{i}).
Ou seja, a expressão original reduz-se a (1-\mathrm{i})^{2} multiplicado por -\mathrm{i}. Agora calculo (1-\mathrm{i})^{2}.

Passo 4

Para elevar (1-\mathrm{i}) ao quadrado uso a fórmula do quadrado de um binômio: (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=1 e b=-\mathrm{i}. Então
(1-\mathrm{i})^{2}=1^{2}+2\cdot1\cdot(-\mathrm{i})+(-\mathrm{i})^{2}=1-2\mathrm{i}+(\,-\mathrm{i})^{2}.
Como (-\mathrm{i})^{2}=\mathrm{i}^{2}=-1, segue
(1-\mathrm{i})^{2}=1-2\mathrm{i}-1=-2\mathrm{i}.

Passo 5

Agora multiplico o resultado por -\mathrm{i}:
(1-\mathrm{i})^{2}(-\mathrm{i})=(-2\mathrm{i})(- \mathrm{i}).
Calculo o produto: (-2\mathrm{i})(- \mathrm{i})=2\mathrm{i}^{2}. E como \mathrm{i}^{2}=-1, então
2\mathrm{i}^{2}=2(-1)=-2.

Passo 6

Interpretação final: a expressão original vale -2. (Só para motivar: se você gostar de ver de outro jeito, dá para chegar ao mesmo resultado escrevendo 1-\mathrm{i} na forma polar e usando potências, mas o fatoramento e o quadrado binomial são o caminho mais rápido numa prova.)

Resposta

-2

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