QUESTÃO 36

Calcule a integral abaixo e assinale a opção cọrreta.
\int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x} d x
(A) \ln (2)
(B) \ln (2)-1
(C) 1
(D) \ln ^{2}(3)
(E) \ln ^{2}(2) / 2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{1}^{2} \frac{\ln(x)}{x}\,dx.
O conteúdo envolvido é o uso de substituição para integrar expressões do tipo \ln(x)/x.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = \ln(x), \quad dt = \frac{dx}{x},
a integral torna-se
\int t\,dt = \frac{t^2}{2} + C.

Passo 3

Voltando aos limites de x:
quando x=1, t=\ln(1)=0;
quando x=2, t=\ln(2).
Portanto
\int_{1}^{2}\frac{\ln(x)}{x}\,dx = \left.\frac{t^2}{2}\right|_{0}^{\ln(2)} = \frac{(\ln(2))^2}{2} - 0 = \frac{\ln^2(2)}{2}.

Resposta

(E)

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