Questão 37 Determine uma base e a dimensão do subespaço do \mathbb{R}^{4} onde W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y=z\right. e \left.x-3 y+t=0\right\}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar uma base e determinar a dimensão do subespaço W\subset\mathbb{R}^4 definido por duas equações lineares. As informações dadas são as seguintes equações que definem W:
x-y=z
x-3y+t=0
ou seja, W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x-y=z \text{ e } x-3y+t=0\}.
As perguntas são: (1) encontrar um conjunto de vetores que forme uma base de W e (2) informar a dimensão de W.
Passo 2
Entendendo o que essas condições significam (aqui explico a ferramenta que vamos usar): um subespaço definido por equações lineares é o conjunto de soluções de um sistema homogêneo. Para descrever esse conjunto é prático escolher algumas variáveis como “livres” e expressar as demais em função delas — isso nos dá uma parametrização. A parametrização permite escrever cada vetor de W como combinação linear de alguns vetores fixos; esses vetores formam um gerador (span). Se conseguirmos que esses vetores geradores sejam linearmente independentes, eles formam uma base. A dimensão é o número de vetores da base.
Passo 3
Vamos resolver as equações para expressar z e t em função de x e y. A primeira equação dá diretamente
z = x-y.
A segunda equação pode ser isolada para t:
t = -x + 3y.
Aqui escolhi as variáveis x e y como variáveis livres (poderiam ser outras, essa é uma escolha conveniente).
Passo 4
Agora escrevemos um vetor geral de W em termos de x e y. Substituindo z e t obtemos
(x,y,z,t) = (x,y,x-y,-x+3y).
Agora fatoramos x e y para obter a combinação linear:
(x,y,x-y,-x+3y) = x(1,0,1,-1) + y(0,1,-1,3).
Isso mostra que todo vetor de W é uma combinação linear dos vetores (1,0,1,-1) e (0,1,-1,3). Em linguagem técnica, W=\operatorname{span}\{(1,0,1,-1),(0,1,-1,3)\}.
Passo 5
Agora precisamos verificar se os dois vetores obtidos são linearmente independentes (para então serem uma base). Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R}\) tais que
\[a(1,0,1,-1)+b(0,1,-1,3)=(0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} a = 0 &\text{(primeira coordenada)}\\[4pt] b = 0 &\text{(segunda coordenada)}\\[4pt] a - b = 0 &\text{(terceira coordenada)}\\[4pt] - a + 3b = 0 &\text{(quarta coordenada)} \end{cases}
Das duas primeiras equações já vem a=0\] e \(b=0. Portanto a única combinação linear que gera o vetor nulo é com a=b=0, logo os vetores são linearmente independentes.]
Passo 6
Como os vetores (1,0,1,-1) e (0,1,-1,3) geram W e são linearmente independentes, eles formam uma base de W. A definição de dimensão diz que a dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base; aqui a base tem exatamente 2 vetores, portanto \dim(W)=2.
Passo 7
(Verificação rápida, opcional mas útil): para checar que qualquer combinação x(1,0,1,-1)+y(0,1,-1,3) satisfaz as equações do enunciado, calcule as coordenadas x, y, z=x-y e t=-x+3y e substitua nas equações originais; ambas ficam satisfeitas — isso confirma que não perdemos soluções ao parametrizar.