Questão 39 Seja
, o conjunto dos números reais
, cujas expansões decimais, usam apenas algarismos 4 e 7 . Verifique se
ou não enumerável.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede: verificar se o conjunto
é enumerável (contável) ou não enumerável (incontável). - O conjunto
é descrito assim: é o conjunto dos números reais cuja expansão decimal usa apenas os algarismos e . Ou seja, cada tem uma expansão decimal da forma
onde, para todo
,
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Todos os dígitos da expansão decimal de elementos de
pertencem ao conjunto . - Os números estão no intervalo
. - Não há indicação de escolha privilegiada entre possíveis expansões decimais (se um número tivesse duas expansões), então devo considerar esse ponto ao construir uma bijeção ou injeção entre sequências de dígitos e
.
Passo 2
O que significa “enumerável” / “não enumerável” e a ideia geral do método que vou usar.
- Definição (intuitiva): um conjunto é enumerável (contável) se seus elementos podem ser listados em uma sequência
. Formalmente, é enumerável se existe uma bijeção entre ele e ou pelo menos uma injeção recíproca com . - Um conjunto é não enumerável se não é possível listar todos os seus elementos dessa forma; o conjunto
dos reais é um exemplo clássico de conjunto não enumerável.
Plano de ataque (resumo didático):
- Relacionar cada
com uma sequência infinita de símbolos (uma sequência de dígitos). - Mostrar que essa relação é bem definida e injetora (cada sequência dá um número e a representação é única aqui).
- Mostrar que o conjunto de todas as sequências infinitas com símbolos em
tem cardinalidade não enumerável — farei isso com o argumento diagonal de Cantor (uma prova padrão e muito didática). - Concluir que
é não enumerável.
Não vou resolver ainda, só deixei claro o significado do pedido e o método que vou aplicar.
Passo 3
Observação sobre unicidade da expansão decimal no caso dos dígitos
.
- Em geral, um número real pode ter duas expansões decimais (por exemplo
) — isso ocorre quando uma expansão termina com infinitos s e a outra correspondente termina com infinitos s. - No nosso caso, as únicas cifras permitidas são
e . Não aparecem os dígitos nem . Logo, não existe dupla representação do tipo “termina em zeros” vs “termina em noves” dentro de sequências com apenas e . - Conclusão: cada sequência infinita
com representa um único número
e nenhum número em
terá duas expansões dessa forma. Portanto a correspondência entre sequências em
e os elementos de
é bijetiva (por construção cada
dá uma sequência e cada sequência dá exatamente um
).
Passo 4
Formalizar a bijeção entre sequências binárias e [X) (redução ao conjunto de sequências
).
- Considere o conjunto
das sequências infinitas de e . Pelo raciocínio do passo anterior, existe uma bijeção natural
- Agora defino uma bijeção simples entre
(sequências binárias) e : basta converter e . Explicitamente, se então
Essa
,
).
- Compondo, há uma bijeção entre
e . Logo mostrar que é não enumerável implica que também é não enumerável.]
Passo 5
Prova de que o conjunto
é não enumerável — argumento diagonal de Cantor (explicado passo a passo).
Suponha, por contradição, que
seja enumerável. Então podemos listar todas as sequências binárias como
onde cada
e
.
Agora construímos uma sequência
em
que difere de
no
-ésimo termo, para todo
. Definimos, por exemplo,
Isto é, se o
-ésimo termo da
-ésima sequência for
, colocamos
; se for
, colocamos
.
Agora verificamos:
- Para cada
, a sequência difere de pelo menos na coordenada , porque . - Logo
não aparece em nenhuma posição da lista .
Isso contradiz a hipótese de que a lista era completa (isto é, que enumerava todas as sequências). Portanto a suposição de enumerabilidade é falsa, e assim
é não enumerável.
(Comentário didático: esse é o famoso argumento diagonal de Cantor — constrói-se explicitamente um elemento que foge da lista ao garantir uma diferença na diagonal.)
Passo 6
Concluir sobre
usando as bijeções montadas.
- Vimos que
é não enumerável. - Há uma bijeção entre
e (passo 4). - Há uma bijeção entre
e (passo 3, unicidade da expansão). - Assim
tem a mesma cardinalidade de , logo também é não enumerável.
Breve encorajamento: deu trabalho montar tudo certinho, mas a ideia é simples — escolher só dois dígitos e fazer sequências infinitas cria tantas possibilidades que não dá para listar todas; é exatamente a mesma razão pela qual os reais em
são incontáveis.