Questão 39 Seja X \subset[0,1], o conjunto dos números reais x \in(0,1), cujas expansões decimais, usam apenas algarismos 4 e 7 . Verifique se X ou não enumerável.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede: verificar se o conjunto X é enumerável (contável) ou não enumerável (incontável).
  • O conjunto X é descrito assim: X\subset(0,1) é o conjunto dos números reais cuja expansão decimal usa apenas os algarismos 4 e 7. Ou seja, cada x\in X tem uma expansão decimal da forma
x=0.a_1 a_2 a_3\ldots
onde, para todo n, a_n\in\{4,7\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Todos os dígitos da expansão decimal de elementos de X pertencem ao conjunto \{4,7\}.
  • Os números estão no intervalo (0,1).
  • Não há indicação de escolha privilegiada entre possíveis expansões decimais (se um número tivesse duas expansões), então devo considerar esse ponto ao construir uma bijeção ou injeção entre sequências de dígitos e X.

Passo 2

O que significa “enumerável” / “não enumerável” e a ideia geral do método que vou usar.
  • Definição (intuitiva): um conjunto é enumerável (contável) se seus elementos podem ser listados em uma sequência \,x_1,x_2,x_3,\dots. Formalmente, é enumerável se existe uma bijeção entre ele e \mathbb{N} ou pelo menos uma injeção recíproca com \mathbb{N}.
  • Um conjunto é não enumerável se não é possível listar todos os seus elementos dessa forma; o conjunto (0,1) dos reais é um exemplo clássico de conjunto não enumerável.
Plano de ataque (resumo didático):
  1. Relacionar cada x\in X com uma sequência infinita de símbolos \{4,7\} (uma sequência de dígitos).
  2. Mostrar que essa relação é bem definida e injetora (cada sequência dá um número e a representação é única aqui).
  3. Mostrar que o conjunto de todas as sequências infinitas com símbolos em \{4,7\} tem cardinalidade não enumerável — farei isso com o argumento diagonal de Cantor (uma prova padrão e muito didática).
  4. Concluir que X é não enumerável.
Não vou resolver ainda, só deixei claro o significado do pedido e o método que vou aplicar.

Passo 3

Observação sobre unicidade da expansão decimal no caso dos dígitos \{4,7\}.
  • Em geral, um número real pode ter duas expansões decimais (por exemplo 0.249999\ldots = 0.25000\ldots) — isso ocorre quando uma expansão termina com infinitos 0s e a outra correspondente termina com infinitos 9s.
  • No nosso caso, as únicas cifras permitidas são 4 e 7. Não aparecem os dígitos 0 nem 9. Logo, não existe dupla representação do tipo “termina em zeros” vs “termina em noves” dentro de sequências com apenas 4 e 7.
  • Conclusão: cada sequência infinita (a_1,a_2,a_3,\dots) com a_n\in\{4,7\} representa um único número
x=0.a_1 a_2 a_3\ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n},
e nenhum número em X terá duas expansões dessa forma. Portanto a correspondência entre sequências em \{4,7\}^{\mathbb{N}} e os elementos de X é bijetiva (por construção cada x\in X dá uma sequência e cada sequência dá exatamente um x).

Passo 4

Formalizar a bijeção entre sequências binárias e [X) (redução ao conjunto de sequências \{0,1\}^{\mathbb{N}}).
  • Considere o conjunto S=\{4,7\}^{\mathbb{N}} das sequências infinitas de 4 e 7. Pelo raciocínio do passo anterior, existe uma bijeção natural
\Phi:S\longrightarrow X,\qquad \Phi((a_n)_{n\ge1})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{10^n}.
  • Agora defino uma bijeção simples entre \{0,1\}^{\mathbb{N}} (sequências binárias) e S: basta converter 0\mapsto4 e 1\mapsto7. Explicitamente, se b=(b_n)_{n\ge1}\in\{0,1\}^{\mathbb{N}} então
\psi(b)=(a_n)_{n\ge1}\quad\text{com}\quad a_n=\begin{cases}4,&\text{se }b_n=0,\\[4pt]7,&\text{se }b_n=1.\end{cases}
Essa \psi\] é bijetiva (é invertível: \(a_n=4\mapsto b_n=0, a_n=7\mapsto b_n=1).
  • Compondo, há uma bijeção entre \{0,1\}^{\mathbb{N}} e X. Logo mostrar que \{0,1\}^{\mathbb{N}} é não enumerável implica que X também é não enumerável.]

Passo 5

Prova de que o conjunto \{0,1\}^{\mathbb{N}} é não enumerável — argumento diagonal de Cantor (explicado passo a passo).
Suponha, por contradição, que \{0,1\}^{\mathbb{N}} seja enumerável. Então podemos listar todas as sequências binárias como
s^{(1)},\\ s^{(2)},\\ s^{(3)},\\ \dots
onde cada s^{(k)}=(s^{(k)}_1,s^{(k)}_2,s^{(k)}_3,\dots) e s^{(k)}_n\in\{0,1\}.
Agora construímos uma sequência t=(t_1,t_2,t_3,\dots) em \{0,1\}^{\mathbb{N}} que difere de s^{(k)} no k-ésimo termo, para todo k. Definimos, por exemplo,
t_n := 1 - s^{(n)}_n \qquad\text{para todo }n.
Isto é, se o n-ésimo termo da n-ésima sequência for 0, colocamos t_n=1; se for 1, colocamos t_n=0.
Agora verificamos:
  • Para cada k, a sequência t difere de s^{(k)} pelo menos na coordenada k, porque t_k=1-s^{(k)}_k\neq s^{(k)}_k.
  • Logo t não aparece em nenhuma posição da lista s^{(1)},s^{(2)},\dots.
Isso contradiz a hipótese de que a lista era completa (isto é, que enumerava todas as sequências). Portanto a suposição de enumerabilidade é falsa, e assim \{0,1\}^{\mathbb{N}} é não enumerável.
(Comentário didático: esse é o famoso argumento diagonal de Cantor — constrói-se explicitamente um elemento que foge da lista ao garantir uma diferença na diagonal.)

Passo 6

Concluir sobre X usando as bijeções montadas.
  • Vimos que \{0,1\}^{\mathbb{N}} é não enumerável.
  • Há uma bijeção entre \{0,1\}^{\mathbb{N}} e S=\{4,7\}^{\mathbb{N}} (passo 4).
  • Há uma bijeção entre S e X (passo 3, unicidade da expansão).
  • Assim X tem a mesma cardinalidade de \{0,1\}^{\mathbb{N}}, logo X também é não enumerável.
Breve encorajamento: deu trabalho montar tudo certinho, mas a ideia é simples — escolher só dois dígitos e fazer sequências infinitas cria tantas possibilidades que não dá para listar todas; é exatamente a mesma razão pela qual os reais em (0,1) são incontáveis.

Resposta

X não é enumerável (é não enumerável).

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