QUESTÃO 41 - Considere a função bijetora f:[1, \infty) \rightarrow(-\infty, 3], definida por f(x)=-x^{2}-x+8, e que (p, q) é o ponto de interseção de f com sua inversa. Qual é o valor de p-q ?
A) 0 .
B) 1 .
C) 2 .
D) 3 .
E) 4 .

Passo 1

O enunciado dá a função bijetora
f:[1,\infty)\to(-\infty,3],\quad f(x)=-x^2 - x + 8
e pede o ponto (p,q) onde o gráfico de f intercepta o de f^{-1}. Como essa interseção ocorre sempre sobre a reta y=x, basta resolver a equação
f(x)=x.

Passo 2

Escrevendo f(x)=x temos
-x^2 - x + 8 = x.
Passando tudo para um lado:
-x^2 -2x + 8 = 0.

Passo 3

Multiplicando por -1 e escrevendo em forma padrão:
x^2 + 2x - 8 = 0.
O discriminante é
\Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-8) = 4 + 32 = 36,
logo as raízes são
x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = 2 \quad\text{ou}\quad -4.

Passo 4

Como o domínio é x\ge1, só vale x=2. Então
q = f(2) = -2^2 - 2 + 8 = 2,
isto é, (p,q)=(2,2) e
p - q = 2 - 2 = 0.

Resposta

0

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