Questão 41. Resolver
Passo 1
O enunciado nos dá a diferencial
e pede a solução geral. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem que, após checar, não são exatas. Vamos precisar transformar em uma equação homogênea por meio de mudança de variáveis (translação) e, em seguida, usar a substituição
para obter uma equação separável.
Passo 2
Primeiro escrevemos
Procuramos uma translação
,
que elimine as constantes no numerador e denominador. Queremos
Isto leva ao sistema
cuja solução é
,
. Logo,
,
.
Passo 3
Em termos de
temos
, e a equação torna-se
que é homogênea de grau zero.
Passo 4
Fazemos a substituição
, de modo que
e a equação vira
Isolando
,
Passo 5
Separamos variáveis:
Observe que
. Logo
Fazendo frações parciais em
e integrando, obtemos
Elevando exponencialmente e reagrupando constantes, chega-se a
com
constante de integração.
Passo 6
Voltando às variáveis originais:
e
. Então
Substituindo em
e multiplicando ambos os lados por
, resulta
Podemos reescrever
e absorver o sinal em
.
Resposta
onde
é constante de integração.