QUESTÃO 42 - Em um experimento clássico de física, um professor montou, sobre a bancada do laboratório, um pêndulo de comprimento L, utilizando um fio muito leve e um pequeno prumo de cobre preso na extremidade do fio. O professor solicitou que os estudantes medissem o intervalo de tempo T (em segundos) para 10 oscilações do pêndulo. A aceleração da gravidade g pode ser calculada pela expressão a seguir, na qual L é medido em metros e T em segundos.
g=\frac{400 \pi^{2} L}{T^{2}}
Considerando que as incertezas absolutas para as medidas do comprimento e intervalo de tempo são \delta L e \delta T, respectivamente, qual das seguintes expressões representa corretamente a incerteza relativa da aceleração da gravidade \delta g / g ?
A) \delta g / g=T^{2} \delta L /\left(L \delta T^{2}\right)
B) \delta g / g=400 \pi^{2} T^{2} \delta L /\left(L \delta T^{2}\right)
C) \delta g / g=\sqrt{(\delta L / L)^{2}+(\delta T / T)^{2}}
D) \delta g / g=\sqrt{4(\delta L / L)^{2}+(\delta T / T)^{2}}
E) \delta g / g=\sqrt{(\delta L / L)^{2}+4(\delta T / T)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a fórmula experimental de g para um pêndulo de comprimento L e período total de 10 oscilações T:
g = \frac{400\pi^2\,L}{T^2}
As incertezas absolutas das medições de L e de T são \delta L e \delta T. Precisamos encontrar a incerteza relativa \delta g/g usando propagação de erros para funções de potência.

Passo 2

Quando uma grandeza g depende de variáveis por lei de potência, isto é,
g = C\,L^{a}\,T^{b},
a incerteza relativa aproximada é
\frac{\delta g}{g} =\sqrt{\bigl(a\,\frac{\delta L}{L}\bigr)^{2}+\bigl(b\,\frac{\delta T}{T}\bigr)^{2}}.
No nosso caso, C=400\pi^2, a=1 e b=-2.

Passo 3

Substituindo a=1 e b=-2 na fórmula de propagação:
\frac{\delta g}{g} =\sqrt{\bigl(1\cdot\frac{\delta L}{L}\bigr)^{2}+\bigl(-2\cdot\frac{\delta T}{T}\bigr)^{2}} =\sqrt{\bigl(\frac{\delta L}{L}\bigr)^{2}+4\bigl(\frac{\delta T}{T}\bigr)^{2}}.

Resposta

E) \displaystyle \frac{\delta g}{g}=\sqrt{\bigl(\frac{\delta L}{L}\bigr)^{2}+4\bigl(\frac{\delta T}{T}\bigr)^{2}}

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