Questão 42. Utilize a transformação x=u+\frac{1}{2} v, y=v para calcular a integral
\int_{0}^{2} \int_{y / 2}^{(y+4) / 2} y^{3}(2 x-y) e^{(2 x-y)^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{y/2}^{(y+4)/2}y^{3}(2x-y)e^{(2x-y)^{2}}\,dx\,dy
usando a transformação de variáveis
x = u + \tfrac12 v,\quad y = v.
Aqui o conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas e uso do jacobiano.

Passo 2

Aplicando x = u + \tfrac12 v e y = v temos
2x - y = 2\Bigl(u + \tfrac12 v\Bigr) - v = 2u,
a integral vira
\iint y^{3}(2x-y)e^{(2x-y)^{2}}\,dx\,dy =\iint v^{3}\,(2u)\,e^{(2u)^{2}}\;\bigl|\det J\bigr|\;du\,dv.
O jacobiano é
J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \tfrac12\\[3pt] 0 & 1 \end{vmatrix} =1,
logo \bigl|\det J\bigr|=1 e o integrando fica 2u\,v^{3}e^{4u^{2}}.]

Passo 3

Agora ajustamos os limites. Como v=y\in[0,2] e u=x-\tfrac12v,
  • na fronteira x=y/2 temos u=0,
  • na fronteira x=(y+4)/2 temos u=2.
    Portanto (u,v) varia no retângulo
0\le u\le2,\quad 0\le v\le2.

Passo 4

A integral torna-se
\int_{v=0}^{2}\!\int_{u=0}^{2}2u\,v^{3}e^{4u^{2}}\,du\,dv =\Bigl(\int_{v=0}^{2}v^{3}dv\Bigr)\, \Bigl(\int_{u=0}^{2}2u\,e^{4u^{2}}du\Bigr).

Passo 5

Calculando separadamente:
\int_{v=0}^{2}v^{3}dv =\left[\frac{v^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =\frac{16}{4}=4.
Para a parte em u, fazemos t=4u^{2}, dt=8u\,du,:
\int_{0}^{2}2u\,e^{4u^{2}}du =\frac{1}{4}\int_{t=0}^{16}e^{t}dt =\frac{1}{4}\bigl(e^{16}-1\bigr).
Multiplicando,
4\cdot\frac{e^{16}-1}{4}=e^{16}-1.

Resposta

e^{16}-1

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