QUESTÃO 44

Assinale a opção que apresenta o limite \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x+\ln x}{x^{3}-3 x+2}.
(A) 0
(B) -1 / 6
(C) 1,85
(D) -1 / 3
(E) 0,25

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 1} \frac{1 - x + \ln x}{x^3 - 3x + 2}.
Ao substituir x=1 temos indeterminação 0/0, então vamos usar expansão em série de Taylor em torno de x=1.

Passo 2

Substituição direta em numerador e denominador:
1 - 1 + \ln 1 = 0,
1^3 - 3\cdot1 + 2 = 0,
logo a expressão é da forma 0/0.

Passo 3

Defina h = x - 1. Para x = 1 + h e h\to 0,
\ln(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} + O(h^4).
Assim o numerador fica
1 - x + \ln x = 1 - (1+h) + \ln(1+h) = -h + \Bigl(h - \tfrac{h^2}{2} + \tfrac{h^3}{3} + O(h^4)\Bigr) = -\frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} + O(h^4).

Passo 4

Para o denominador, com x = 1 + h:
x^3 - 3x + 2 = (1+h)^3 - 3(1+h) + 2 = 3h^2 + h^3.

Passo 5

Formando a razão e extraindo o fator h^2:
\frac{1 - x + \ln x}{x^3 - 3x + 2} = \frac{-\tfrac12 h^2 + \tfrac13 h^3 + O(h^4)}{3h^2 + h^3} = \frac{-\tfrac12 + \tfrac13 h + O(h^2)}{3 + h} \;\xrightarrow{h\to0}\; -\frac{1/2}{3} = -\frac{1}{6}.

Resposta

-\tfrac{1}{6} (opção B)

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