Questão 46 Fixado algum número real a, considere a reta de equação
que contém os pontos
e
do plano xy e denote
. Fixado algum ponto
dessa reta,
a) mostre que
e conclua que
e
são os únicos pontos da reta de equação
, que pertencem ao círculo unitário de equação
.
b) Mostre que a aplicação
definida por
é injetora .
c) Mostre que
se, e somente se,
.
d) Conclua que
é um conjunto enumerável.
a) mostre que
b) Mostre que a aplicação
c) Mostre que
d) Conclua que
Passo 1
O enunciado dá a reta de equação
(com
) e define
. A reta contém os pontos
e
. Fixamos um ponto arbitrário
dessa reta (ou seja, satisfaça
). O que o exercício pede, em partes:
- (a) Mostrar que
e concluir que os únicos pontos da reta que pertencem ao círculo unitário
são
e
.
- (b) Mostrar que
dada por é injetora. - (c) Mostrar que
se, e somente se, . - (d) Concluir que
é enumerável.
Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas acima; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Substituir a equação da reta
na equação do círculo
. Vou explicar passo a passo:
Começo com a equação do círculo:
Como
está na reta, temos
. Substituo
na equação do círculo:
Agora explico a operação
: é o quadrado de uma soma, então
Substituindo de volta:
Agrupando os termos em
,
e constantes:
Lembre que
, então escrevo essa quadrática como
Assim mostrei a primeira equivalência:
Passo 3
Fatorar o polinômio quadrático
. Vou tentar fatorar por inspeção em dois fatores lineares
porque já sabemos que
corresponde ao ponto
que está na reta e no círculo.
Calculo o produto
Para que isso seja igual a
devemos ter
Verifico com
:
que bate exatamente. Logo a fatoração é válida:
Portanto obtenho a segunda equivalência:
Passo 4
Resolver as raízes da fatoração para achar as interseções reta ∩ círculo. As soluções em
da equação
são:
Estas são as duas abscissas possíveis de pontos da reta que também estão no círculo. Para cada
eu obtenho
.
- Se
, então , o que dá o ponto . - Se
, chamo essa abscissa de . Então a ordenada correspondente é
Calculo
:
Logo
Portanto o segundo ponto de interseção é
Ainda preciso justificar que não há mais soluções: a equação quadrática em
tem no máximo duas raízes reais; encontrei exatamente duas raízes distintas (veja comentário abaixo sobre coincidência). Verifico que as raízes nunca coincidem: se fossem iguais então
implicaria
, o que dá
e portanto
, contradição. Assim as duas raízes são distintas para todo
. Concluo que os únicos pontos da reta
que pertencem ao círculo
são exatamente
e
com as fórmulas acima. Isso resolve (a).
Passo 5
Prova de (b): mostrar que
é injetora.
Sejam
e
em
tais que
. Então
ou explicitamente,
Para simplificar a argumentação uso apenas a igualdade das segundas coordenadas
(a igualidade de
também será usada implicatívamente). Igualdade das ordenadas dá
Posso cancelar o
e multiplicar em cruz:
Expandindo:
Agrupando termos:
Coloco
em evidência:
Da última igualdade seguem duas possibilidades:
ou
.
- Se
então já tenho injetividade nesse caso. - Se
e , então . Vou mostrar que nesse caso as abscissas e não são iguais, o que contradiz . Calculo quando :
Logo
. Para ter
deveríamos ter
, ou seja
(pois
). Mas se
então
, e nesse caso
, contradizendo a hipótese
. Portanto quando
com
tem-se
, de modo que
. Concluimos que a única possibilidade para
é
. Logo
é injetora.
Passo 6
Prova de (c): mostrar que
se, e somente se,
.
Primeiro, se
então claramente
são expressões obtidas por somas, produtos e quocientes de números racionais (o denominador
não é zero), portanto
. Assim
.
Agora a recíproca: suponha
. Quero mostrar
. Uso a relação linear simples que vem da reta:
Isso é válido porque
implica
. Para o ponto
obtive
, que nunca é zero (já que
). Assim posso resolver para
:
Se
e
são racionais, então o quociente acima é racional (denominador não nulo), portanto
. Isso prova a equivalência desejada.
Passo 7
Prova de (d): concluir que
é enumerável.
Observação:
e é ponto racional. Pelas partes anteriores, o mapa
associa a cada
o ponto
que é a interseção da reta
com o círculo, diferente de
. Da parte (c) sabemos que
se, e somente se,
. Da parte (a) e da construção geométrica também segue que todo ponto racional do círculo diferente de
aparece como
para algum
(basta tomar
como a inclinação da reta que liga
ao ponto racional
, e essa inclinação é
porque
e
). Portanto
restringida a
fornece uma bijeção entre
e
.
Mais formalmente:
- A aplicação
é sobrejetora (todo ponto racional do círculo diferente de vem de algum como explicado) e, pela (b), injetora. Logo é bijeção. - Como
é enumerável, sua imagem também é enumerável. - Finalmente,
é união de um conjunto enumerável com um conjunto finito, logo é enumerável.
Isto conclui (d).
Resposta
a) Os únicos pontos são
e
.\n
b) é injetora.\n
c) se, e somente se,
.\n
d) é enumerável.
b)
c)
d)