Questão 49. Considere a equação diferencial
y^{\prime}+(\cos x) y=e^{-\sin x}
a) Ache a solução \varphi satisfazendo \varphi(\pi)=\pi.
b) Mostre que qualquer solução \varphi possui a seguinte propriedade:
\varphi(\pi k)-\varphi(0)=k \pi

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + (\cos x)\,y = e^{-\sin x}
e pede:
– (a) a solução \varphi com \varphi(\pi)=\pi.
– (b) mostrar que toda solução satisfaz
\varphi(\pi k)-\varphi(0)=k\pi.
Para resolver precisaremos usar o fator integrante em equações lineares do tipo
y' + p(x)\,y = q(x).

Passo 2

Identificamos p(x)=\cos x. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int \cos x\,dx} = e^{\sin x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{\sin x}y' + e^{\sin x}\cos x\,y = e^{\sin x} e^{-\sin x} = 1.
O lado esquerdo é a derivada de e^{\sin x}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sin x}y\bigr) = e^{\sin x}\cos x\,y + e^{\sin x}y'.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sin x}y\bigr) = 1.

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
e^{\sin x}y = \int 1\,dx = x + C,
onde C é constante arbitrária. Assim a solução geral é
y(x) = (x + C)\,e^{-\sin x}.

Passo 5

Para a) impomos \varphi(\pi)=\pi. Como \sin\pi=0, tem-se
\varphi(\pi) = (\pi + C)e^{-\sin\pi} = \pi + C = \pi \;\Longrightarrow\; C=0.
Então a solução buscada é
\varphi(x) = x\,e^{-\sin x}.

Passo 6

Agora mostramos (b). Para a solução geral y(x)=(x+C)e^{-\sin x} vale:
y(\pi k) = (\pi k + C)e^{-\sin(\pi k)} = \pi k + C
pois \sin(\pi k)=0. E
y(0) = (0 + C)e^{-\sin0} = C.
Portanto
y(\pi k) - y(0) = (\pi k + C) - C = \pi k,
que é exatamente a propriedade desejada.

Resposta

(a) \displaystyle \varphi(x)=x\,e^{-\sin x}.
(b) Para toda solução y(x)=(x+C)e^{-\sin x} tem-se \displaystyle y(\pi k)-y(0)=\pi k.

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