Questão 49. Considere a equação diferencial
a) Ache a solução
satisfazendo
.
b) Mostre que qualquer solução
possui a seguinte propriedade:
b) Mostre que qualquer solução
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
e pede:
– (a) a solução com
.
– (b) mostrar que toda solução satisfaz
– (a) a solução
– (b) mostrar que toda solução satisfaz
Para resolver precisaremos usar o fator integrante em equações lineares do tipo
Passo 2
Identificamos
. O fator integrante é
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, pois
Logo
Passo 4
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante arbitrária. Assim a solução geral é
Passo 5
Para a) impomos
. Como
, tem-se
Então a solução buscada é
Passo 6
Agora mostramos (b). Para a solução geral
vale:
pois
. E
Portanto
que é exatamente a propriedade desejada.
Resposta
(a)
(b) Para toda solução tem-se
(b) Para toda solução