1^2 Questão) (50pontos) O campo elétrico de uma onda plana no vácuo é descrito como:
E=50(i x+z) e^-i 80 y V / m
Determinar: (a) a freqüência da onda e a direção de propagação, supondo que seja uma onda do tipo transversal; (b) os campos elétrico e magnético no domínio do tempo; (c) o valor médio do vetor de Poynting; (d) a velocidade de fase e de grupo; (e) a polarização da onda, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico fasorial de uma onda plana no vácuo
E=50l(i,hat x+hat zr)e^-i,80,yV/m
e pede:
(a) frequência !f e direção de propagação,
(b) campos vec E e vec H no domínio do tempo,
(c) valor médio do vetor de Poynting,
(d) velocidades de fase e de grupo,
(e) tipo de polarização.
O conteúdo é teoria de ondas eletromagnéticas em espaço livre, usando relações k, omega, impedância eta0 e Poynting.

Passo 2

Da exponencial e^-i,80,y identificamos o número de onda
k=80;m^-1
Em vácuo a relação de dispersão é omega= c,k com c=3times10^8;m/s, logo
omega = (3times10^8)(80)=2,4times10^10;rad/s,
f=omega2pi=2,4times10^102piapprox3,82times10^9;Hz
A forma e^-i,k,y no fasor e^-i,kcdot r e o fator de tempo e^iomega t implicam propagação no sentido +hat y.

Passo 3

Para passar ao domínio do tempo usamos
vec E(r,t)=Revec E(r),e^iomega t
Assim
vec E(y,t)=50l(i,hat x+hat zr),e^-i(80y-omega t),
vec E(y,t)=50l[hat xcos(omega t-80y+tfracpi2)+hat zcos(omega t-80y)r];V/m
O campo magnético fasorial em vácuo é
vec H=1eta0,hat ktimesvec E com hat k=hat y,;eta0approx377;Omega
Logo
vec H(y)=50eta0l[hat ytimes(i,hat x+hat z)r] =50eta0l(hat x-i,hat zr)e^-i80y;A/m,
e no tempo
vec H(y,t)=50eta0l[hat xcos(omega t-80y)-hat zsin(omega t-80y)r];A/m

Passo 4

O vetor de Poynting complexo é vec Sc=vec Etimesvec H^*.
vec Etimesvec H^* =50l(i,hat x+hat zr)times50eta0l(hat x+i,hat zr) =2500eta0(2,hat y)
O valor médio é
lang<=vec Srang<= =tfrac12Revec Sc =2500eta0,hat y approx2500377,hat yapprox6,63,hat y;W/m^2

Passo 5

Em vácuo a velocidade de fase é
vph=omegak=c=3times10^8;m/s,
e a velocidade de grupo também vale
vg=c=3times10^8;m/s

Passo 6

O fasor tem componentes Exproptoi e Ezpropto1, iguais em módulo e defasados de 90^circ. Isso caracteriza polarização circular. Como Ex está +90^circ à frente de Ez e a onda se propaga em +hat y, trata-se de polarização circular destrógira (right-hand).

Resposta

(a) fapprox3,82times10^9;Hz, direção de propagação +hat y.
(b)
vec E(y,t)=50l[hat xcos(omega t-80y+tfracpi2)+hat zcos(omega t-80y)r];V/m,
vec H(y,t)=50377l[hat xcos(omega t-80y)-hat zsin(omega t-80y)r];A/m
(c) lang<=vec Srang<=approx6,63,hat y;W/m^2
(d) vph=vg=c=3times10^8;m/s
(e) Polarização circular destrógira.

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