2^2 Questão) (50pontos) Um campo magnético harmônico no tempo é descrito como:
h=0,13 e^-i gamma z y A / m
com freqüência angular de 10^6 rad / s.
(a) Escreva o campo elétrico referente no domínio do tempo considerando essa onda plana propagando no meio ilimitado; (b) Represente a densidade de potência do campo eletromagnético [ w / m^2 ]; (c) A energia pode ser expressa por meio das densidades médias associadas a cada campo. Determinar qual dessas densidades de energia é predominante quando a onda se propaga no meio ilimitado e quando se propaga em um condutor real. Apresente uma justificativa para cada caso.

Passo 1

O enunciado dá um campo magnético harmônico no espaço livre (meio ilimitado) na forma de fasor
tilde H(z)=0,13,e^-igamma z,hat y(A/m),
com omega=10^6,rad/s.
O que se pede:
  • (a) determinar o campo elétrico correspondente no domínio do tempo;
  • (b) escrever a densidade de potência (vetor de Poynting);
  • (c) comparar as densidades médias de energia elétrica e magnética em meio sem perdas e em condutor real.
    Vamos usar as relações de onda plana:
tilde E=eta,hat ktimestilde H, vec S=tfrac12Retilde Etimestilde H^*, uE=tfrac14varepsilon|tilde E|^2, uH=tfrac14mu|tilde H|^2,
onde eta=raizmu/varepsilon é a impedância do meio e hat k é o versor de propagação.

Passo 2

(a) Relação entre tilde E e tilde H numa onda plana que se propaga em +z:
tilde E=eta,hat ktimestilde H =eta,( hat ztimes(0,13,e^-igamma z,hat y)) =eta;0,13,e^-igamma z,hat x
No domínio do tempo, tomando a parte real de tilde E,e^iomega t e assumindo meio sem perdas ( gamma=k real),
vec E(t) =Re0,13,eta,e^-ikze^iomega t,hat x =0,13,etacos(omega t - k,z),hat x

Passo 3

(b) O vetor de Poynting médio é
vec S =12Retilde Etimestilde H^* =12,eta,(0,13)^2,hat z =12,etacdot0,0169,hat z =0,00845,eta,hat z l[W/m^2r]

Passo 4

(c) As densidades médias de energia são
uE=14,varepsilon|tilde E|^2, uH=14,mu|tilde H|^2
Em meio sem perdas ( eta real, eta^2=mu/varepsilon) vale
uE=tfrac14,varepsilon,eta^2,|tilde H|^2 =tfrac14,mu,|tilde H|^2 =uH
Ou seja, energias elétrica e magnética são iguais.
Em um condutor real de condutividade sigmaggomegavarepsilon, a impedância
etaapprox(1+i)raiztfracomegamu2sigma
é muito menor que raizmu/varepsilon, logo |tilde E|/|tilde H|ll1. Assim
uEproptovarepsilon|tilde E|^2llmu|tilde H|^2propto uH,
ou seja, a energia magnética predomina no condutor, pois a componente elétrica é suprimida pela condução de corrente.

Resposta

(a) E(t) = 0,13,eta cos(omega t - kz) , x .
(b) S = 0,00845 , eta , z l[W/m^2r].
(c) Em meio sem perdas uE = uH; em condutor real uH gg uE.

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