Questão 60.

Uma bola de bilhar A de massa m movendo-se com velocidade v_{A} colide de frente com a bola B de massa igual. Assumindo uma colisão elástica, encontre as velocidades dos dois objetos após a colisão nos seguintes casos
a) ambas tem velocidade inicial,
b) a bola B está inicialmente em repouso.
Nota: para a resolução dessa questão consulte a subseção (7.4.1)

Passo 1

O enunciado descreve uma colisão frontal unidimensional entre duas bolas idênticas de massa m. A bola A chega com velocidade inicial v_A e a bola B com velocidade inicial v_B. A colisão é perfeitamente elástica, ou seja, conserva a quantidade de movimento e a energia cinética. Nosso objetivo é achar as velocidades finais v'_A e v'_B em função de v_A e v_B, e depois tratar o caso especial v_B=0.

Passo 2

Escrevemos primeiro a conservação da quantidade de movimento:
m\,v_A + m\,v_B = m\,v'_A + m\,v'_B
que simplifica para
v_A + v_B = v'_A + v'_B.
Em seguida, a conservação da energia cinética:
\tfrac12 m\,v_A^2 + \tfrac12 m\,v_B^2 = \tfrac12 m\,v'_A{}^2 + \tfrac12 m\,v'_B{}^2
que dá
v_A^2 + v_B^2 = v'_A{}^2 + v'_B{}^2.

Passo 3

Para colisões elásticas entre massas iguais surge a relação de reversão da velocidade relativa:
v'_A - v'_B = -\bigl(v_A - v_B\bigr).
Agora temos o sistema
\begin{cases} v'_A + v'_B = v_A + v_B,\\\ v'_A - v'_B = -\,v_A + v_B. \end{cases}
Somando as duas equações, obtemos
2\,v'_A = 2\,v_B \;\;\Longrightarrow\;\; v'_A = v_B.
Subtraindo a segunda da primeira, damos
2\,v'_B = 2\,v_A \;\;\Longrightarrow\;\; v'_B = v_A.

Passo 4

Portanto, no caso geral (a) com ambas as bolas em movimento temos
v'_A = v_B, \quad v'_B = v_A.

Passo 5

No caso particular (b) em que a bola B está em repouso ( v_B=0), basta substituir:
v'_A = 0, \quad v'_B = v_A.

Resposta

(a) v'_A = v_B e v'_B = v_A.
(b) v'_A = 0 e v'_B = v_A.

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