Questão 60. Determine n tal que \sum_{i=3}^{n} 2^{i}=4088.

Passo 1

O enunciado dá a soma
\sum_{i=3}^{n} 2^{i} = 4088
e pede determinar o inteiro n que satisfaz essa igualdade.
Informações relevantes: o somatório começa em i=3 e vai até i=n; os termos são potências de 2; o total da soma é 4088.

Passo 2

Vamos lembrar e deduzir uma fórmula útil para somas de potências de 2. Considere a soma parcial
S_n = \sum_{k=0}^{n} 2^{k} = 1 + 2 + 2^{2} + \cdots + 2^{n}.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
2S_n = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \cdots + 2^{n+1}.
Se subtrairmos a primeira equação da segunda, quase tudo cancela:
2S_n - S_n = 2^{n+1} - 1.
Logo
S_n = 2^{n+1} - 1.
Explicando de forma simples: somar potências de 2 até 2^{n} resulta em 2^{n+1}-1. Isso é uma forma particular da fórmula da soma de uma progressão geométrica com razão 2.

Passo 3

Agora queremos a soma que começa em i=3. Podemos escrever
\sum_{i=3}^{n} 2^{i} = \sum_{k=0}^{n} 2^{k} - \sum_{k=0}^{2} 2^{k}.
Usando a fórmula do passo anterior temos
\sum_{i=3}^{n} 2^{i} = \bigl(2^{n+1}-1\bigr) - \bigl(2^{3}-1\bigr).
Calcule \sum_{k=0}^{2} 2^{k}:
\sum_{k=0}^{2} 2^{k} = 1 + 2 + 4 = 7,
portanto
\sum_{i=3}^{n} 2^{i} = 2^{n+1}-1 - 7 = 2^{n+1} - 8.

Passo 4

Igualamos essa expressão ao valor dado 4088:
2^{n+1} - 8 = 4088.
Somando 8 em ambos os lados:
2^{n+1} = 4096.
Reconhecemos 4096 como potência de 2. Sabendo que 2^{10}=1024 temos
2^{12} = 2^{10}\cdot 2^{2} = 1024\cdot 4 = 4096.
Logo 2^{n+1}=2^{12}, o que implica
n+1 = 12.

Passo 5

Subtraindo 1 obtemos
n = 11.
Verificação rápida: usando a fórmula do passo 3,
\sum_{i=3}^{11} 2^{i} = 2^{12} - 8 = 4096 - 8 = 4088,
que coincide com o enunciado.

Resposta

n=11