Questão 60. Determine
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a soma
e pede determinar o inteiro
que satisfaz essa igualdade.
Informações relevantes: o somatório começa em e vai até
; os termos são potências de
; o total da soma é
.
Informações relevantes: o somatório começa em
Passo 2
Vamos lembrar e deduzir uma fórmula útil para somas de potências de
. Considere a soma parcial
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Se subtrairmos a primeira equação da segunda, quase tudo cancela:
Logo
Explicando de forma simples: somar potências de
até
resulta em
. Isso é uma forma particular da fórmula da soma de uma progressão geométrica com razão
.
Passo 3
Agora queremos a soma que começa em
. Podemos escrever
Usando a fórmula do passo anterior temos
Calcule
:
portanto
Passo 4
Igualamos essa expressão ao valor dado
:
Somando
em ambos os lados:
Reconhecemos
como potência de
. Sabendo que
temos
Logo
, o que implica
Passo 5
Subtraindo
obtemos
Verificação rápida: usando a fórmula do passo 3,
que coincide com o enunciado.