Questão 61. Um paraquedista está animado de uma velocidade inicial v_{0}=50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} no momento em que o paraquedas se abre. Sabendo que a resistência do ar é \frac{P v^{2}}{30} \mathrm{kgf}, onde P é o peso total do paraquedas como o paraquedista, em kgf, achar sua velocidade em função do tempo t depois do paraquedas aberto. (tome g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ). (Resp. v=\frac{\sqrt{30}\left(1+0,8 e^{-3,7 t}\right)}{1-0,8 e^{-3,7 t}}. )

Passo 1

O enunciado dá velocidade inicial v_{0}=50 na abertura do paraquedas, peso total em kgf igual a P, resistência do ar
F_{r}=\frac{P\,v^{2}}{30}\quad(\text{kgf})
e pede v(t) com g=10,m/s ^2. Vamos montar a EDO de Newton incluindo peso e arrasto e depois separar variáveis para integrar.

Passo 2

Convertemos para Newton e massa em kg:
– peso em Newton: P_{\!N}=P\cdot g.
– arrasto em Newton: F_{r_N}=\tfrac{P\,v^2}{30}\cdot g.
– massa m = P_{\!N}/g =P.
Então a EDO m\,dv/dt = P\,g - F_{r_N} fica
P\,\frac{dv}{dt}=P\cdot10-\frac{P\,v^2}{30}\cdot10 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dt}=10-\frac{1}{3}v^2.

Passo 3

Separamos as variáveis:
\frac{dv}{10-\tfrac{1}{3}v^2}=dt.
Note que 10-\tfrac{1}{3}v^2=(30-v^2)/3, logo
\frac{dv}{(30-v^2)/3}=dt \;\Longrightarrow\; \frac{3\,dv}{30-v^2}=dt.

Passo 4

Integramos ambos os lados
\int \frac{3\,dv}{30-v^2} =\int dt.
Usando
\int\frac{dv}{a^2-v^2} =\frac{1}{2a}\ln\!\frac{a+v}{a-v}, \quad a=\sqrt{30},
obtemos
\frac{3}{2\sqrt{30}}\ln\!\frac{\sqrt{30}+v}{\sqrt{30}-v} = t + C.

Passo 5

Multiplicamos por \tfrac{2\sqrt{30}}{3}, escrevemos a constante como K=e^{C'} e isolamos v:
\ln\!\frac{\sqrt{30}+v}{\sqrt{30}-v} =\frac{2\sqrt{30}}{3}\,t + C' \;\Longrightarrow\; \frac{\sqrt{30}+v}{\sqrt{30}-v} =K\,e^{\frac{2\sqrt{30}}{3}t}.
Dessa forma
v=\sqrt{30}\, \frac{K\,e^{\frac{2\sqrt{30}}{3}t}-1} {K\,e^{\frac{2\sqrt{30}}{3}t}+1}.
Alternativamente, colocando
A=\frac{v_0-\sqrt{30}}{v_0+\sqrt{30}},
chegamos à forma
v=\sqrt{30}\, \frac{1 + A\,e^{-\frac{2\sqrt{30}}{3}t}} {1 - A\,e^{-\frac{2\sqrt{30}}{3}t}}.

Passo 6

Em t=0 temos v(0)=v_0=50, logo
A=\frac{50-\sqrt{30}}{50+\sqrt{30}}\approx0,8, \quad \frac{2\sqrt{30}}{3}\approx3,7.

Resposta

v=\frac{\sqrt{30}\bigl(1+0,8\,e^{-3,7\,t}\bigr)} {1-0,8\,e^{-3,7\,t}}.

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