Questão 65. Resolva os problemas a seguir:
Encontre um polinômio
de segundo grau tal que
e
.
Encontre um polinômio
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá: encontrar um polinômio de segundo grau
tal que as três condições seguintes sejam satisfeitas:
Aqui as incógnitas que precisamos determinar são os coeficientes do polinômio de grau 2.
Passo 2
Escrevendo a forma geral de um polinômio de segundo grau:
onde
,
e
são constantes reais que devemos encontrar. Agora vamos calcular
,
e
em termos de
,
,
:
Passo 3
Usando a primeira condição
. Some as expressões que obtivemos:
Igualando a
e simplificando:
Explicação didática rápida: ao somar
e
o termo em
(que é ímpar em
) se cancela, sobrando apenas termos em
e
.
Passo 4
Usando a segunda condição
. Subtraindo as expressões:
Igualando a
:
Comentário: ao subtrair
de
os termos pares (em
e
) se cancelam, sobrando apenas o termo ímpar em
.
Passo 5
Agora use a terceira condição
. Substitua
na expressão de
:
Igualando a
:
Passo 6
Temos agora o sistema linear em
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
em
:
Passo 7
Coeficientes encontrados:
Verificação rápida: com esses valores
ok — satisfaz a terceira condição. As primeiras duas condições também se verificam (confira que
e
, então
e
).