Questão 65. Resolva os problemas a seguir:
Encontre um polinômio p(x) de segundo grau tal que p(1)+p(-1)=6, p(1)-p(-1)=10 e p(-2)=-4.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá: encontrar um polinômio de segundo grau p(x) tal que as três condições seguintes sejam satisfeitas:
p(1)+p(-1)=6,
p(1)-p(-1)=10,
p(-2)=-4.
Aqui as incógnitas que precisamos determinar são os coeficientes do polinômio de grau 2.

Passo 2

Escrevendo a forma geral de um polinômio de segundo grau: p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são constantes reais que devemos encontrar. Agora vamos calcular p(1), p(-1) e p(-2) em termos de a, b, c:
p(1)=a+b+c,
p(-1)=a-b+c,
p(-2)=4a-2b+c.

Passo 3

Usando a primeira condição \,p(1)+p(-1)=6. Some as expressões que obtivemos:
p(1)+p(-1)=(a+b+c)+(a-b+c)=2a+2c.
Igualando a 6 e simplificando:
2a+2c=6 \quad\Rightarrow\quad a+c=3.
Explicação didática rápida: ao somar p(1) e p(-1) o termo em b (que é ímpar em x) se cancela, sobrando apenas termos em a e c.

Passo 4

Usando a segunda condição \,p(1)-p(-1)=10. Subtraindo as expressões:
p(1)-p(-1)=(a+b+c)-(a-b+c)=2b.
Igualando a 10:
2b=10 \quad\Rightarrow\quad b=5.
Comentário: ao subtrair p(-1) de p(1) os termos pares (em a e c) se cancelam, sobrando apenas o termo ímpar em b.

Passo 5

Agora use a terceira condição \,p(-2)=-4. Substitua b=5 na expressão de p(-2):
p(-2)=4a-2b+c = 4a-2\cdot 5 + c = 4a-10+c.
Igualando a -4:
4a-10+c=-4 \quad\Rightarrow\quad 4a+c=6.

Passo 6

Temos agora o sistema linear em a\) e \(c\): \[\begin{cases} a+c=3,\\[4pt] 4a+c=6. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar c\]: \[(4a+c)-(a+c)=6-3 \quad\Rightarrow\quad 3a=3 \quad\Rightarrow\quad a=1.\] Substituindo \(a=1 em a+c=3:
1+c=3 \quad\Rightarrow\quad c=2.]

Passo 7

Coeficientes encontrados: \,a=1,\; b=5,\; c=2. Verificação rápida: com esses valores
p(-2)=4\cdot1-2\cdot5+2=4-10+2=-4,
ok — satisfaz a terceira condição. As primeiras duas condições também se verificam (confira que p(1)=1+5+2=8 e p(-1)=1-5+2=-2, então p(1)+p(-1)=6 e p(1)-p(-1)=10).

Resposta

p(x)=x^{2}+5x+2