Questão 72 (MA12-AV2-PROFMAT-2014). De um grupo de 12 mulheres, sendo Paula uma delas, e de 10 homens, sendo Felipe um deles, quantas comissões podem ser formadas com:
4 mulheres e 3 homens?

Passo 1

O enunciado dá as informações:
  • 12 mulheres no grupo (Paula é uma delas).
  • 10 homens no grupo (Felipe é um deles).
    O que se pede:
  • Quantas comissões podem ser formadas com exatamente 4 mulheres e 3 homens?

Passo 2

Observação importante sobre o tipo de contagem: dentro de uma comissão a ordem não importa (uma comissão com as mesmas pessoas, em qualquer ordem, é a mesma comissão). Quando a ordem não importa usamos combinações (ou coeficientes binomiais). A fórmula para escolher k elementos de um conjunto de n elementos é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots1. Vou usar essa fórmula para mulheres e para homens separadamente.

Passo 3

Calcular o número de maneiras de escolher 4 mulheres dentre 12:
\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!(12-4)!}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8!}{(4\cdot3\cdot2\cdot1)\cdot8!}
Cancelando 8! e simplificando os fatores obtemos
\binom{12}{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificando passo a passo:
\frac{12}{4}=3,\quad \frac{10}{2}=5,\quad \frac{9}{3}=3,
logo
\binom{12}{4}=3\cdot11\cdot5\cdot3=3\cdot3\cdot11\cdot5=9\cdot55=495.

Passo 4

Calcular o número de maneiras de escolher 3 homens dentre 10:
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Simplificando:
\frac{9}{3}=3,\quad \frac{8}{2}=4,
portanto
\binom{10}{3}=10\cdot3\cdot4=10\cdot12=120.

Passo 5

Princípio multiplicativo: as escolhas de mulheres e de homens são independentes (qualquer escolha de 4 mulheres pode ser combinada com qualquer escolha de 3 homens). Então o número total de comissões é o produto das duas combinações:
\binom{12}{4}\cdot\binom{10}{3}=495\cdot120.
Fazendo a multiplicação sem calculadora:
495\cdot100=49\,500,\qquad 495\cdot20=9\,900,
somando,
495\cdot120=49\,500+9\,900=59\,400.

Resposta

59\,400

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