Questão 72 (MA12-AV2-PROFMAT-2014). De um grupo de 12 mulheres, sendo Paula uma delas, e de 10 homens, sendo Felipe um deles, quantas comissões podem ser formadas com:
4 mulheres e 3 homens?
4 mulheres e 3 homens?
Passo 1
O enunciado dá as informações:
- Há
mulheres no grupo (Paula é uma delas). - Há
homens no grupo (Felipe é um deles).
O que se pede: - Quantas comissões podem ser formadas com exatamente
mulheres e homens?
Passo 2
Observação importante sobre o tipo de contagem: dentro de uma comissão a ordem não importa (uma comissão com as mesmas pessoas, em qualquer ordem, é a mesma comissão). Quando a ordem não importa usamos combinações (ou coeficientes binomiais). A fórmula para escolher
elementos de um conjunto de
elementos é
onde
(fatorial de
) significa
. Vou usar essa fórmula para mulheres e para homens separadamente.
Passo 3
Calcular o número de maneiras de escolher
mulheres dentre
:
Cancelando
e simplificando os fatores obtemos
Agora simplificando passo a passo:
logo
Passo 4
Calcular o número de maneiras de escolher
homens dentre
:
Simplificando:
portanto
Passo 5
Princípio multiplicativo: as escolhas de mulheres e de homens são independentes (qualquer escolha de 4 mulheres pode ser combinada com qualquer escolha de 3 homens). Então o número total de comissões é o produto das duas combinações:
Fazendo a multiplicação sem calculadora:
somando,