Questão 75 (SEDUC-CE-2009). Um teste para os alunos de determinada sala de uma escola é composto de 8 itens, que deverão ser julgados, individualmente, como CERTOS ou ERRADOS. Nesse caso, excluindo-se as possibilidades de todos os itens estarem CERTOS ou de todos estarem ERRADOS, a quantidade de possíveis gabaritos para esse teste é igual a?

Passo 1

Vou traduzir o enunciado em coisas claras e listar o que foi dado e o que se pede.
  • 8 itens no teste.
  • Cada item é julgado individualmente como CERTOS ou ERRADOS (duas opções por item).
  • Devem ser excluídas as possibilidades “todos os itens CERTOS” e “todos os itens ERRADOS”.
  • Pergunta: quantos gabaritos possíveis restam, depois de excluir essas duas possibilidades?

Passo 2

Entender o modelo de contagem (princípio multiplicativo) — explicação didática:
  • Quando uma ocorrência é composta por várias escolhas independentes, o número total de resultados é o produto do número de opções de cada escolha. Exemplo simples: se tenho 2 camisas e 3 calças, combinações possíveis =2\times3=6.
  • No nosso caso cada um dos 8 itens tem 2 opções (CERTO ou ERRADO) e as escolhas entre itens são independentes. Logo aplicamos o princípio multiplicativo com 8 fatores iguais a 2.

Passo 3

Calcular o total de gabaritos sem exclusão:
\text{Total} = 2^{8}.
Calcule 2^{8} passo a passo (jeito que dá pra fazer sem calculadora):
2^{2}=4,\qquad 2^{4}=(2^{2})^{2}=4^{2}=16,\qquad 2^{8}=(2^{4})^{2}=16^{2}=256.
Portanto o total de gabaritos possíveis (incluindo os extremos) é \,256.

Passo 4

Excluir os dois gabaritos proibidos:
  • Um gabarito com todos os itens CERTOS (uma possibilidade).
  • Um gabarito com todos os itens ERRADOS (uma possibilidade).
Como são exatamente duas configurações proibidas, subtrai-se 2 do total:
\text{Gabaritos válidos} = 2^{8} - 2 = 256 - 2 = 254.á

Passo 5

Interpretação rápida para a prova (dica prática): pensar em cada gabarito como um subconjunto dos itens que estão CERTOS. O número de subconjuntos de um conjunto de 8 elementos é 2^{8}. Tirando o subconjunto vazio (nenhum certo) e o subconjunto completo (todos certos) fica 2^{8}-2. Esse raciocínio funciona em qualquer prova do tipo “cada questão tem duas opções, excluindo todos-certo e todos-errado”.

Resposta

254